Quando si studiano i poligoni nell’ambito della Geometria Euclidea piana, si analizzano anche i poligoni regolari, ovvero quei poligoni che hanno tutti i lati congruenti fra loro. In Geometria Solida esiste un concetto analogo: stiamo parlando dei poliedri regolari. Questi particolari solidi sono conosciuti anche come solidi platonici dato che ne parlò anche Platone, nel suo dialogo “Timeo”.
Definizione
Un poliedro regolare è un solido convesso le cui facce sono tutte poligoni regolari composti dallo stesso numero di lati.
Viene spontaneo chiedersi: quanti sono i poliedri regolari? E poi: quali sono questi poliedri?
Teorema: Esistono solo cinque poliedri regolari. Essi sono: il tetraedro regolare,
il cubo (o esaedro regolare),
l’ottaedro regolare,
il dodecaedro regolare,
l’icosaedro regolare.
“Dimostrazione”. Consideriamo un qualsiasi vertice del nostro poliedro: per costruzione, sappiamo che questo sarà anche un vertice di un certo numero $q$ di facce del poliedro, e in particolare sarà il vertice di $q$ angoli (ciascuno appartenente a una delle $q$ facce). Un attimo di riflessione (e una buona dose di immaginazione) ci portano a formulare le seguenti considerazioni:
- $q$ è sicuramente maggiore di $3$. In caso contrario, avremmo un solido con un vertice condiviso solo da due facce, che è impossibile.
- l’ampiezza di tutti gli angoli è sempre la stessa. Questo significa che, se chiamiamo $a$ tale ampiezza, la somma totale degli angoli in ciascun vertice è uguale a $q \cdot a$.
- la somma dei $q$ angoli (che per quanto detto prima vale $q \cdot a$) deve essere inferiore a $360^\circ$; se fosse esattamente $360^\circ$ gli angoli si disporrebbero in modo da essere tutti sullo stesso piano, il che è impossibile (il poliedro sarebbe “piatto”). A maggior ragione, $q \cdot a$ non può essere neanche maggiore di $360^\circ$.
Da queste tre osservazioni ricaviamo questa catena di disuguaglianze: $$3 \cdot a < q \cdot a < 360^\circ$$il che ci porta ad affermare $$a < \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$$Questo vuol dire che i poligoni regolari che possono comporre il nostro poliedro regolare devono avere angoli interni di ampiezza $a < 120^\circ$. Dopo una breve analisi, ci accorgiamo che le possibilità sono solo queste:
- triangolo equilatero, con $a = 60^\circ$;
- quadrato, con $a = 90^\circ$;
- pentagono regolare, con $a = 108^\circ$.
Analizziamo ciascun caso, a partire dall’ultimo.
- Se le facce sono tutte pentagoni regolari, allora il numero di facce $q$ adiacenti a ciascun vertice non può essere più di $4$, dato che $4 \cdot 108^\circ = 432^\circ > 360^\circ$. Quindi deve essere necessariamente $q=3$: questo porta a costruire il dodecaedro regolare.
- Se le facce sono tutte quadrati, allora necessariamente $q = 3$, dato che per $q=4$ la somma degli angoli fa esattamente $360^\circ$ (che non ci va bene). Da questo deduciamo che l’unico poliedro regolare che ha quadrati come facce è il cubo.
- Se le facce sono tutte triangoli equilateri ci vanno bene $q=3, q=4$ o anche $q=5$. Queste tre situazioni corrispondono rispettivamente al tetraedro regolare, all’ottaedro regolare e all’icosaedro regolare.
Per comodità, riassumiamo in una tabella le caratteristiche geometriche dei poliedri regolari. In questa tabella riportiamo anche il cosiddetto simbolo di Schläfli del poliedro: questo è una coppia di numeri $\{ p, q \}$ dove $p$ è il numero di spigoli di ciascuna faccia e $q$ è il numero di spigoli che si incontrano in un vertice dato (che è uguale per tutti i vertici).
| Facce $F$ | Spigoli $S$ | Vertici $V$ | $$\{p, q\}$$ | |
| Tetraedro | $4$ triangoli equilateri | $$6$$ | $$4$$ | $$\{3, 3\}$$ |
| Cubo | $6$ quadrati | $$12$$ | $$8$$ | $$\{4, 3\}$$ |
| Ottaedro | $8$ triangoli equilateri | $$12$$ | $$6$$ | $$\{3, 4\}$$ |
| Dodecaedro | $12$ pentagoni regolari | $$30$$ | $$20$$ | $$\{5, 3\}$$ |
| Icosaedro | $20$ triangoli equilateri | $$30$$ | $$12$$ | $$\{3, 5\}$$ |
Inoltre, è possibile ricavare delle formule relative a questi solidi. In particolare riportiamo le formule di volume e superficie totale, del raggio della sfera circoscritta (che tocca cioè tutti i vertici del poliedro) e inscritta (cioè tangente a tutte le facce del poliedro). Ciascuna di queste quantità dipende solamente dalla lunghezza $L$ dello spigolo del poliedro che stiamo considerando.
In alcune formule per il dodecaedro e l'icosaedro compare il rapporto aureo $\phi$.
| Volume | Superficie | Raggio sfera circoscritta | Raggio sfera inscritta | |
| Tetraedro | $$\frac{\sqrt{2}}{12} L^3$$ | $$\sqrt{3}L^2 $$ | $$\frac{\sqrt{6}}{4} L$$ | $$\frac{\sqrt{6}}{12} L$$ |
| Cubo | $$L^3$$ | $$6L^2$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{2} L$$ | $$\frac{1}{2} L$$ |
| Ottaedro | $$\frac{\sqrt{2}}{3} L^3$$ | $$2\sqrt{3} L^2$$ | $$\frac{\sqrt{2}}{2} L$$ | $$\frac{\sqrt{6}}{6} L$$ |
| Dodecaedro | $$\frac{\sqrt{5} \phi^4}{2} L^3$$ | $$3\sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}L^2$$ | $$\sqrt{3} \phi L$$ | $$\frac{\phi^2 \sqrt[4]{5^3\phi^2}}{10}L$$ |
| Icosaedro | $$\frac{5}{6} \phi^2L^3 $$ | $$5\sqrt{3}L^2 $$ | $$\frac{\sqrt[4]{5 \phi^2}}{2} L$$ | $$\frac{\sqrt{3}\phi^2}{6} L$$ |
Sottolineiamo che le formule di volume e superficie del tetraedro possono essere ricavate facilmente pensando al tetraedro come a una piramide che ha per facce dei triangoli equilateri congruenti. Invece, si possono trovare altre formule relative al cubo nella lezione a esso dedicata.
I poliedri regolari soddisfano alcune proprietà molto interessanti.
- Il numero di facce $F$, di spigoli $S$ e di vertici $V$ di ciascun poliedro soddisfa la formula di Eulero per i poliedri: $$F - S + V = 2$$In realtà questa relazione è soddisfatta da qualsiasi poliedro convesso!
- Il numero $p$ del simbolo di Schläfli indica il numero di spigoli di ciascuna faccia. Se moltiplichiamo $p$ per il numero di facce $S$, otteniamo il numero di spigoli del poliedro moltiplicato per due (ogni spigolo appartiene a due facce distinte, e quindi è “contato due volte”). Con una formula: $$pF = 2S$$
- Il numero $q$ del simbolo di Schläfli indica il numero di spigoli che si incontrano in un qualsiasi vertice del poliedro. Se moltiplichiamo $q$ per il numero di vertici $V$ otteniamo il numero di spigoli del poliedro moltiplicato per due (ogni spigolo viene infatti “contato due volte”, dato che ciascuno di essi collega due vertici). Con una formula: $$qV = 2S$$
- A partire dalle tre formule appena ottenute si ricava la seguente relazione: $$\frac{1}{q} + \frac{1}{p} = \frac{1}{2} + \frac{1}{S}$$Dato che $S$ è un numero positivo, vale anche: $$\frac{1}{q} + \frac{1}{p} > \frac{1}{2}$$Si verifica facilmente che in effetti i valori di $p$ e $q$ riportati nella prima tabella soddisfano questa relazione. Non solo: i simboli di Schläfli dei poliedri regolari sono le uniche coppie di interi per cui questa relazione è soddisfatta, il che mostra ancora una volta come gli unici poliedri regolari possibili siano i cinque che abbiamo elencato.