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Il prisma e il parallelepipedo: formule e definizioni

Tra i poliedri di cui possiamo calcolare facilmente volume e superficie totale troviamo i prismi. Questi poliedri hanno, in particolare, due facce parallele e congruenti fra loro, dette basi del prisma; le rimanenti facce devono essere invece dei parallelogrammi. In particolare, ciascun vertice della base inferiore è collegato a uno e un solo vertice della base inferiore.
La distanza tra le due basi, ovvero il segmento perpendicolare a entrambi i piani delle due basi, è detto altezza del prisma.

Se il poligono di base è per esempio un triangolo, un quadrato o un pentagono, allora il prisma prende rispettivamente il nome di prisma triangolare, prisma quadrato, prisma pentagonale; questo si generalizza al caso di un poligono di $n$ lati, chiamando prisma $n$-gonale il prisma che ha quel poligono per base.

A partire dalla definizione che abbiamo dato e osservando la figura qui sopra, possiamo dedurre che un prisma $n$-gonale possiede:

  • $2n$ vertici, dato che oltre agli $n$ vertici di ciascuna delle due basi non ve ne sono altri;
  • $3n$ spigoli ($n$ lati per ogni base e $n$ spigoli che collegano i loro vertici);
  • $n+2$ facce, che sono le due basi e gli $n$ parallelogrammi (uno per ogni lato delle basi).


Definizione

Un prisma in cui i parallelogrammi che costituiscono la superficie laterale sono anche rettangoli si dice prisma retto. Ogni prisma che non rispetti questa condizione viene detto prisma obliquo.
Un prisma retto che abbia come base un poligono regolare si dice prisma regolare.

Definizione

Un prisma qualsiasi che abbia come base un parallelogramma è detto parallelepipedo. Un parallelepipedo che è anche un prisma retto è detto parallelepipedo retto.
Un parallelepipedo retto che abbia come basi dei rettangoli è detto parallelepipedo rettangolo.

Il caso più speciale di parallelepipedo rettangolo è il cubo, in cui tutte le facce sono quadrati congruenti.

 

Formule per il prisma e per il parallelepipedo

In questo paragrafo chiameremo $B$ la misura di una delle due basi del prisma, e $h$ l’altezza del prisma.


Volume. Per qualsiasi prisma, vale la formula: $$V = B \cdot h.$$La formula cambierà a seconda di come è fatta la base del prisma: se per esempio il prisma è regolare, la base è un poligono regolare, che ha area data dalla formula $B = l^2 \cdot \varphi$, dove $\varphi$ è il numero fisso del poligono regolare.

Superficie laterale. L’area laterale di un prisma è ottenuta sommando tutte le aree delle facce del prisma che non sono le basi, che sono tutti parallelogrammi. Se $2p$ è il perimetro del poligono di base, vale la formula: $$S_{lat} = 2p \cdot h.$$

Superficie totale. Per determinare l’area totale di un prisma è sufficiente sommare l’area delle due basi alla superficie laterale: $$S_{tot} = S_{lat} + 2B.$$


È possibile ricavare delle formule inverse rispetto a quelle che abbiamo appena visto, che permettono di calcolare le misure relative a un prisma generico. Per esempio, possiamo trovare l’altezza di un prisma conoscendo volume e area di base: $$h = \frac{V}{B}.$$