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Inclinazione degli asintoti: spiegazione ed esempio

Quando dobbiamo disegnare il grafico di un’iperbole dobbiamo fare attenzione a disegnare correttamente gli asintoti. E’ facile ricordare che la loro inclinazione è legata ai parametri $a$ e $b$ delle equazioni in forma canonica $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,$$ $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$$

Tuttavia è altrettanto facile confondersi e non ricordare se il coefficiente angolare (cioè la sua inclinazione) è dato da $\frac{a}{b}$ o $\frac{b}{a}$. Per chi non riesce a ricordare che le corrette equazioni degli asintoti sono $y=\pm\frac{b}{a}x$, può essere utile una semplice procedura che permette di tracciare il grafico senza bisogno di ricordare la formula.

Per imparare questa procedura ricorriamo a un esempio particolare: disegniamo l’iperbole rappresentata da $$ \frac{(x - 2)^2}{4} - (y - 1)^2 = -1$$ dopo aver tracciato i suoi asintoti. L’equazione è già espressa in una forma in cui è facile identificare il centro $C$ dell’iperbole, che ha coordinate $(x_C; y_C) = (2;1)$, e i parametri $a = 2$ e $b = 1$. Cominciamo allora con il tracciare gli assi di simmetria dell'iperbole, passanti per il centro e dati dalle equazioni $x = x_C$ (asse verticale) e $y = y_C$ (asse orizzontale)$:Essi sono indicati da linee tratteggiate e rappresentano gli assi traslati $X$ e $Y$ rispetto ai quali l’iperbole ha equazione $\frac{X^2}{4} - Y^2 = -1$. Questa equazione si ottiene mediante le sostituzioni $X = x-x_C, Y=y-y_C $, ovvero nel nostro caso $X = x - 2, Y = y - 1$, all’interno dell’equazione dell’iperbole $ \frac{(x - 2)^2}{4} - (y - 1)^2 = -1$. I parametri $a$ e $b$ indicano la distanza dal centro delle eventuali intersezioni della curva con tali assi; qui però li usiamo per tracciare una figura ausiliaria. Nella prossima figura tracciamo due lati puntinati per formare un rettangolo partendo dal centro dell’iperbole: i lati orizzontali, paralleli a $X$, saranno lunghi quanto il parametro $a$ (in questo caso pari a $2$), e analogamente quelli verticali saranno lunghi $b$ (in questo caso $1$) che è il parametro collegato all’asse verticale $Y$. Fatto questo, ottenere il primo asintoto è piuttosto facile: è sufficiente tracciare la diagonale del rettangolo appena disegnato e prolungarla oltre i due vertici. Va fatto notare che, in questo caso specifico, esso passa per l’origine degli assi $x$ e $y$: non è affatto una caratteristica generale, si tratta piuttosto di una situazione particolare dovuta alla posizione del centro dell’iperbole e alla peculiare scelta dei valori di $a$ e di $b$.Il secondo asintoto può essere ottenuto per semplice riflessione del primo rispetto all’asse verticale (o orizzontale). Il risultato nel nostro caso è riportato nella prossima figura.Una volta rappresentati i due asintoti non ci rimane altro che capire se l’iperbole è orizzontale o verticale. Per farlo possiamo cercare le intersezioni con gli assi traslati $X$ e $Y$ che corrisponderebbero rispettivamente alle soluzioni delle equazioni $Y=0$ e $X=0$, ovvero $y = y_C$ e $x = x_C$.Possiamo renderci contro senza troppa fatica che sostituire $Y = 0$ nell’equazione dell’iperbole traslata ci porta all’equazione $$\frac{X^2}{4} = -1$$ che non può avere soluzioni, dal momento che il primo membro è un quadrato e quindi non può assumere valori negativi come -1 qualunque sia il valore di $X$. Di conseguenza non ci sono intersezioni con la retta di equazione $Y=0$, ovvero con l’asse orizzontale $X$. Al contrario ponendo $X=0$ si ottiene $$-Y^2=-1$$ ovvero $$Y^2=1$$ che ha due soluzioni. I vertici dell’iperbole si trovano quindi sull’asse $Y$ dando alla figura un orientamento verticale. In particolare uno di questi due punti si trova in corrispondenza di un vertice del rettangolo che abbiamo appena disegnato. A partire da esso è quindi possibile tracciare il ramo superiore dell’iperbole. Operando una riflessione rispetto all'asse $X$ otteniamo il ramo inferiore, ricostruendo così la curva nel suo complesso.