L'iperbole è solitamente l'ultima sezione conica che si affronta nell'ambito della geometria analitica, dopo parabole ed ellissi.
L'iperbole è definito come il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.
A seconda di dove sono situati i vertici dell'iperbole, abbiamo due possibili equazioni:
- Se i vertici sono situati sull'asse orizzontale delle ascisse, e l'iperbole è simmetrica rispetto agli assi cartesiani, l'equazione che la descrive è$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$In questo caso, i vertici hanno coordinate $(\pm a; 0)$; la distanza focale $c$ è pari a $\sqrt{a^2 + b^2}$ e i fuochi hanno coordinate $(\pm c, 0)$; e gli asintoti dell'iperbole sono le rette di equazione $y = \pm \frac{b}{a} x$.
- In maniera del tutto analoga, se i vertici si trovano sull'asse verticale delle ordinate, e l'iperbole è simmetrica rispetto agli assi cartesiani, l'equazione che la descrive è$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $$In questo caso i vertici sono nelle posizioni $(0; \pm b)$ e i fuochi si trovano in $(0; \pm c)$ (la distanza focale è sempre $ c=\sqrt{a^2 + b^2}$); gli asintoti rimangono le due rette di equazione $y = \pm \frac{b}{a} x$.
In questo video illustriamo tutti questi fatti e ne diamo una breve interpretazione geometrica: essi sono essenziali per la risoluzione degli esercizi sull'iperbole.