Il saggio marginale di sostituzione è una frazione che esprime uno dei concetti più importanti dell'analisi microeconomica.
La microeconomia è la branca dell'economia che analizza "da vicino" le dinamiche di un sistema economico. Cosa significa da vicino? Significa che mentre la macroeconomia studia i grandi aggregati, ad esempio l'evoluzione del PIL, dell'investimento, del consumo e del debito pubblico, la microeconomia cerca di spiegare il comportamento dei singoli agenti economici come le imprese o i consumatori.
Per comprendere in che modo il benessere di un agente economico cambia al variare delle sue scelte o dell'ambiente in cui opera bisogna poter quantificare, almeno parzialmente, questo benessere. Per questo motivo i microeconomisti fanno riferimento alla funzione di utilità, che è una relazione matematica che lega l'utilità di un agente ad una serie di variabili che si ipotizza la influenzino.
Per esempio, se vogliamo modellare l'utilità che un consumatore ricava dall'acquisto di un bene $\text{x}$, possiamo ipotizzare una funzione di utilità con la seguente forma:$$ U_i(x) = [V - p] \ x $$dove $U_i(x)$ è l'utilità che l'agente $i$ ricava dal consumo di $x$ unità del bene $\text{x}$, $V$ è il valore che un'unità del bene $\text{x}$ ha per il consumatore, $p$ è il prezzo di un'unità del bene $\text{x}$ ed $x$ è appunto la quantità acquistata del bene in questione.
Ovviamente, a seconda della complessità della situazione che vogliamo analizzare, la nostra funzione di utilità può diventare molto più complessa ed articolata, ad esempio può dipendere da due variabili o più, può dipendere da queste variabili in maniera lineare o non lineare et cetera.
Consideriamo una funzione di utilità a due variabili: in altre parole, il consumatore deve scegliere se consumare il bene $\text{x}$ o il bene $\text{y}$.
Abbiamo quindi una funzione di utilità del tipo$$ U_i (x,y) $$Per semplicità per il momento non includiamo il prezzo nella nostra analisi, lo introdurremo in seguito: quello che ci interessa capire, ora, è come misurare se il consumatore $i$ preferisca il bene $\text{x}$ al bene $\text{y}$.
Ipotizziamo che il consumatore $i$ disponga nello stesso momento di una certa quantità del bene $\text{x}$ e di una certa quantità del bene $\text{y}$: la sua utilità è data da $U_i(x, y)$. Se il consumatore disponesse di un'unità in meno del bene $\text{x}$, di quante unità dovrebbe aumentare il bene $\text{y}$ per garantire a i lo stesso livello di utilità di cui godeva in precedenza? Il saggio marginale di sostituzione serve proprio a questo: esprime la quantità di bene $text{y}$ che il consumatore $i$ deve ricevere quando rinuncia ad un'unità di bene $\text{x}$ affinché la sua utilità totale rimanga costante.
Per scoprire quanto deve aumentare $\text{y}$ per compensare la diminuzione di un'unità di $\text{x}$ e mantenere quindi invariata l'utilità dell'agente, dobbiamo prima andare a vedere come si modifica l'utilità totale al variare di $\text{x}$. Possiamo farlo facilmente, basta calcolare la derivata di $U(x, y)$ rispetto a $x$, vale a dire$$ \frac{d U(x,y)}{dx} = \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} \frac{d x}{d x} + \frac{\partial U(x,y)}{\partial y} \frac{d y}{d x} $$ $ \dfrac{\partial U(x,y)}{\partial x} $ è l'utilità marginale del bene $\text{x}$, cioè l'utilità addizionale che l'agente ricava dal consumo di un'unità in più del bene $\text{x}$. Possiamo indicare questa frazione con la sigla $MU_x$, dall'inglese "marginal utility".
Allo stesso modo, $ \dfrac{\partial U(x,y)}{\partial y} $ è l'utilità marginale del bene $\text{y}$, cioè l'utilità addizionale che l'agente ricava dal consumo di un'unità in più del bene $\text{y}$. Indichiamo questa frazione con la sigla $MU_y$.
$dx$ è l’incremento del bene $\text{x}$, e $\frac{dx}{dx}$ ovviamente è uguale a $1$. $\frac{d y }{dx}$ è il rapporto tra l’incremento del bene $\text{y}$ e l’incremento del bene $\text{x}$.
Tenendo conto di tutto ciò che abbiamo detto finora, possiamo riscrivere l'equazione sopra riportata come segue:$$ \frac{d U(x,y)}{dx} = MU_x + MU_y \frac{dy}{dx} $$In precedenza abbiamo detto che il saggio marginale di sostituzione esprime quanto bene $\text{y}$ il consumatore deve ottenere per mantenere la sua utilità costante in seguito alla perdita di un'unità di bene $\text{x}$. Se l'utilità rimane costante, anche la funzione di utilità deve essere costante: matematicamente, questo equivale a dire che la derivata totale di $U(x, y)$ rispetto a $\text{x}$ deve essere uguale a zero!
Possiamo quindi scrivere$$ \frac{d U(x,y)}{dx} = MU_x + MU_y \frac{dy}{dx} = 0 $$che possiamo riscrivere come segue:$$MU_x = - MU_y \frac{dy}{dx} $$Portiamo ora $UM_y$ dall'altra parte dell'uguale ed otteniamo$$ MRS = \frac{MU_x}{MU_y} = - \frac{dy}{dx} $$MRS è una sigla e sta per "marginal rate of substitution": in inglese, proprio il saggio marginale di sostituzione che stavamo cercando, e che può essere espresso alternativamente come rapporto tra le utilità marginali dei due beni e come il valore negativo del rapporto tra l'incremento del bene $\text{y}$ e l'incremento del bene $\text{x}$.