Teorema dei coseni: dimostrazione

Dimostrazione formale della legge dei coseni a partire dalle relazioni trigonometriche fondamentali: SOH CAH TOA.

La legge dei coseni è una relazione molto utile che lega un angolo e i tre lati di un triangolo qualsiasi.
Noti due lati e l'angolo compreso e tracciata una qualsiasi altezza su uno dei due lati noti, per perpendicolarità si ottengono due triangoli rettangoli: ragionando prima su uno e poi sull'altro è possibile esprimere le due porzioni del lato su cui si è tracciata l'altezza in funzione degli altri lati e dei coseni degli angoli adiacenti al lato su cui cade l'altezza, utilizzando la definizione di coseno espressa dalla sigla CAH.

Fatto ciò è possibile anche definire l'altezza tracciata in funzione del seno di un angolo a scelta tra i due adiacenti al lato dell'altezza tracciata, grazie alla definizione di seno espressa dalla sigla SOH.

Ancora, è possibile scrivere l'espressione di uno degli altri due lati, ragionando sul triangolo rettangolo di cui questo è ipotenusa mediante il teorema di Pitagora applicato ai cateti già espressi in funzione di seni e coseni.
Proseguendo con delle semplificazioni otteniamo la legge dei coseni, esprimibile, con le notazioni usate nel video, nella formula: a^2 = b^2 c^2 - 2bccos(teta)

L'utilità della legge sta nel fatto che noti due lati e un angolo è immediatamente calcolabile il lato mancante, oppure, noti tre lati è calcolabile uno degli angoli.