Teorema dei seni: dimostrazione

Dimostrazione della legge dei seni a partire dalle relazioni trigonometriche fondamentali note con le abbreviazioni: SOH CAH TOA.

La legge dei seni è una relazione molto utile che lega angoli e lati di un triangolo qualsiasi.

Tracciata un'altezza su uno dei tre lati, per perpendicolarità si ottengono due triangoli rettangoli: ragionando prima su uno e poi sull'altro, è possibile esprimere tale altezza in funzione di lati e seni di angoli, secondo la definizione di seno espressa dalla sigla SOH.

Le due espressioni dell'altezza così ricavate naturalmente coincidono, e lo stesso ragionamento è applicabile su ciascuna delle tre altezze del triangolo di partenza.

Si dà così forma alla legge dei seni: in un qualsiasi triangolo sono uguali tutti i rapporti tra i seni degli angoli e i rispettivi lati opposti.

Usando le notazioni del video, la generica legge dei seni è così esprimibile:
[sen(alfa)]/A = [sen(beta)]/B =[sen(teta)]/C
Trattandosi di rapporti è naturalmente valida anche l'uguaglianza degli inversi:
A/[sen(alfa)] = B/[sen(beta)] = C/[sen(teta)]

L'utilità della legge sta nel fatto che, noti due lati e un angolo o due angoli e un lato di una delle tre coppie possibili di identità, è immediatamente calcolabile il lato o l'angolo mancante.