La teoria cinetica dei gas: l’energia cinetica e la temperatura

In questa lezione prenderemo in considerazione una rivisitazione in chiave microscopica di molti concetti termodinamici macroscopici già visti in precedenza quali la pressione, la temperatura e l’energia cinetica di un gas perfetto ¹. Scopriremo una cosa molto entusiasmante, ossia che essi sono concetti equivalenti e che hanno la loro origine - di natura microscopica - nel moto che le molecole effettuano, in particolare negli urti che queste molecole effettuano sulle pareti del recipiente che le contiene.

Ma andiamo per gradi! Il punto di partenza è l’equivalenza tra calore ed energia. L’indizio cruciale che portò alla formalizzazione successiva di questo concetto venne fornito a metà Ottocento da parte di due appassionati di Fisica, il medico tedesco Mayer e il birraio inglese Joule.  Quest’ultimo, con la sua celebre esperienza, dimostrò che (quantità di) calore $\mathcal{Q}$ e lavoro $\mathcal{L}$ sono due facce della stessa medaglia, esattamente come dollaro ed euro, e il loro tasso di cambio $\mathcal{J}$ è dato da$$\mathcal{L} = \mathcal{J} \mathcal{Q}$$dove $\mathcal{J} = 4.184 {\rm J/cal}$ è detto equivalente meccanico della caloria e può essere facilmente misurato in laboratorio. Il lavoro, infatti, ha come unità di misura nel SI il Joule ², mentre il calore ha storicamente la caloria come unità di misura. Le due unità divengono quindi interscambiabili.

La teoria cinetica mostra che il moto caotico (microscopico) delle molecole è strettamente legato alla temperatura (macroscopica) del corpo, oltre che alla pressione e all’energia. L’implicazione è doppia, cioè, per esempio, alzare la temperatura del corpo produce un “maggior indaffaramento” per le molecole e, viceversa, se le molecole si fermano per qualche ragione, anche la temperatura del corpo diminuisce.

Vedremo ora che alcuni concetti macroscopici, come la pressione del gas, sono spiegabili in termini di urti delle molecole di un gas sulle pareti del recipiente che le contiene. La formulazione di questa teoria cinetica dei gas parte dalle seguenti assunzioni:

1. Le molecole di gas sono sfere dure soggette soltanto a urti elastici;
2. Le traiettorie tra un urto e il successivo sono rettilinee;
3. Gli urti con le pareti del recipiente sono elastici;
4. La distribuzione spaziale delle molecole del gas è mediamente uniforme e le direzioni di moto delle molecole sono distribuite in modo isotropo.

Di queste ipotesi noi considereremo soltanto la 2, la 3 e la 4, in quanto ci metteremo nel caso di un gas ideale, o perfetto, ossia trascureremo gli urti tra le particelle ³. Sotto queste ipotesi – formulate nella prima metà dell’800 – consideriamo una molecola di gas che urta su di una parete del recipiente che contiene l’intero gas (vedi Fig.1).

$$Figura 1$$L’idea è che, se la parete – come in figura – giace lungo l’asse $y$, nell’urto quel che accade (essendo l’urto elastico) è che la componente $x$ della velocità cambia segno, mentre quella $y$ resta inalterata. Ciò implica necessariamente che l’unica direzione lungo cui realmente ha interesse studiare la dinamica – come vedremo a brevissimo – è quella $x$, che notiamo essere anche coincidente con la direzione della normale alla superficie ⁴. Utilizzando i pedici $i$ per la fase iniziale (prima dell’urto) ed $f$ per quella finale (dopo l’urto) si ha$$ \begin{cases}\displaystyle{v_{x,f} = - v_{x,i} } \\\displaystyle{v_{y,f} = v_{y,i} }. \end{cases}$$Chiamiamo $v_{x,i} = v_x$ e $v_{y,i} = v_y$: in questo modo $v_{x,f} = -v_x$ e $v_{y,f} = v_y$, come mostrato nella Fig. 1. Durante l’urto si ha quindi la seguente variazione di quantità di moto:$$\begin{cases}\displaystyle{\Delta q_x = - 2 m v_x } \\\displaystyle{\Delta q_y = 0}\end{cases}$$Dove notiamo finalmente che l’unica direzione “fisicamente” interessante - come accennato prima - è la $x$. Consideriamo il recipiente per semplicità cubico, e sia $L$ la lunghezza di una delle sue pareti. L’urto successivo sulla stessa parete avverrà quindi dopo il tempo impiegato a percorrere la lunghezza di una parete avanti e dietro, ossia$$\tau = \frac{2L}{v_x}$$Se consideriamo un generico intervallo di tempo $[t_a,t_b]$ il numero di urti che avverrà in questo intervallo sarà$$ \mathcal{N} = \frac{t_b-t_a}{\tau} = \left(t_b - t_a\right) \frac{v_x}{2L}$$Consideriamo quindi il teorema dell’impulso, che ricapitoliamo per brevità: l’impulso $\mathcal{I}$ di una forza $F$ equivale alla variazione della quantità di moto $\Delta q$ che essa produce. In formule,$$ \mathcal{I} = \int_{t_a}^{t_b} F dt = \Delta q.$$Applichiamolo quindi alla forza esercitata su di una parete (a causa degli urti di una molecola con essa) e alla variazione della quantità di moto totale (ossia dovuta agli $\mathcal{N}$ urti) relativa alla molecola che urta. Otteniamo quindi$$\mathcal{I} = \int_{t_a}^{t_b} F dt = \mathcal{N} \cdot \Delta q_x = \left(t_b-t_a\right) \frac{v_x}{2L} 2mv_x = \frac{t_b-t_a}{L}mv^2_x$$Sommiamo adesso ambo i membri su tutte le molecole del gas, dato che finora abbiamo considerato soltanto una molecola. Inoltre notiamo che, essendo il numero di molecole molto grande (l’ordine di grandezza è quello del numero di Avogadro, ossia $N_A \propto 10^{23}$), il valore della forza è praticamente costante nel tempo ⁵. L’impulso quindi diventa semplicemente $\mathcal{I} = F (t_b-t_a)$. Il teorema dell’impulso quindi diventa$$ \int_{t_a}^{t_b} F dt = F \left(t_b-t_a\right) = \frac{t_b-t_a}{L} \sum m v^2_x$$da cui, dividendo per la durata dell’intervallo di tempo considerato, $t_b - t_a$, otteniamo l’equazione$$ F = \frac{1}{a} \sum m v^2_x.$$Dividiamo quindi per l’area della superficie della parete, $L^2$ , così da ottenere il nostro scopo, ossia la pressione $P$:$$ P = \frac{F}{L^2} = \frac{1}{L^3} \sum m v^2_x = \frac{\sum m v^2_x}{V}$$Dove $V = L^3$ è il volume del recipiente che contiene il gas. Iniziamo a notare già da adesso una proporzionalità con l’energia cinetica totale delle particelle, ossia la quantità $\sum m v^2_x$, a meno di un fattore $\frac{1}{2}$. Moltiplicando e dividendo per il numero totale di molecole $N$ del gas si ha$$P = \frac{N}{V} \frac{\sum m v^2_x}{N} = \frac{N m}{V} \frac{\sum v^2_x}{N} = \rho \bar{v}^2_x = \frac{\rho}{3} \bar{v}^2$$Spieghiamo gli ultimi passaggi: $\frac{\sum v^2_x }{N}$ è chiaramente la media sulle particelle della velocità quadratica lungo $x$, che indichiamo con $\bar{v}^2_x$. La quantità $\frac{Nm}{V}$ rappresenta la massa totale delle molecole di gas diviso il volume che il gas occupa (la scatola): essa è quindi la densità $\rho$ del gas.

Si noti che il discorso è stato effettuato (per semplicità) considerando gli urti che avvengono lungo l’asse $x$. In realtà gli urti coinvolgono tutte le pareti del recipiente (anche lungo gli assi $y$ e $z$), non soltanto quelle lungo l’asse $x$. Tuttavia, dall’ipotesi 4, ossia dal fatto che non esiste alcuna direzione privilegiata e le direzioni di moto delle molecole sono distribuite in modo isotropo, segue che le tre direzioni $x$, $y$ e $z$ sono tra di loro equivalenti ⁶. Di conseguenza, la media del quadrato di una delle tre componenti della velocità è identica alle altre due, quindi $\bar{v}^2_x=\bar{v}^2_y=\bar{v}^2_z$ ma essendo anche $v^2=v^2_x+v^2_y+v^2_z$, passando alle medie ambo i membri si ottiene che $\bar{v}^2_x = \bar{v}^2/3$.

Ciò che abbiamo appena ottenuto, seppur con un po’ di fatica, è molto importante. L’equazione$$ P = \frac{\rho}{3} \bar{v}^2 $$afferma che la pressione di un gas perfetto è proporzionale alla media dei quadrati delle velocità delle molecole. Essa ha una portata rivoluzionaria, perché connette il mondo macroscopico (la pressione, che si misura con un manometro) con quello microscopico (la velocità quadratica media delle molecole che compongono il gas).

Ricordiamo adesso l’equazione di stato dei gas perfetti:$$ P V = n R T $$dove $P$ è la pressione, $V$ il volume e $T$ la temperatura del gas; $n$ il numero di moli ed $R$ una costante. Ricordiamo il concetto di mole: esso è un modo per numerare oggetti, del tutto equivalente a quello di dozzina: stavolta però, anziché 12, si tratta ben di $N_A$ oggetti, ove $N_A = 6,022 \cdot 10^{23}$ è il numero di Avogadro. In formule, $n = N/N_A$. Esplicitando $P$ nell’equazione precedente e sostituendo quanto abbiamo precedentemente ottenuto, arriviamo alla formula$$ \frac{n R T}{V} = P = \frac{\rho}{3} \bar{v}^2 = \frac{Nm}{3V} \bar{v}^2 = \frac{n N_A m}{3V} \bar{v}^2 $$da cui segue che$$ T = \frac{N_A m}{3 R} \bar{v}^2. $$Definiamo adesso la costante $k_B = R/N_A$ , che prende il nome di costante di Boltzmann. Dalle definizioni di energia cinetica e velocità quadratica media, notiamo che $K = \frac{1}{2} m \bar{v}^2$ è l’energia cinetica media del gas: si ottiene quindi l’importante relazione$$ K = \frac{3}{2} k_B T $$che mostra che l’energia cinetica del gas è proporzionale alla sua temperatura. Allo stesso tempo la temperatura è proporzionale alla pressione, come mostra l’equazione di stato dei gas perfetti.

La morale della storia è che pressione, energia cinetica e temperatura sono tre facce della stessa "medaglia" ⁷.

Bibliografia

A. Einstein, L. Infeld, l’evoluzione della Fisica, Torino, Bollati Boringhieri 1965
S. Rosati, Fisica generale, Milano, CEA 1978
C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica I, Napoli, Liguori Editore 2006