Una tipologia di esercizi che si incontra frequentemente quando si studiano i radicali sono le espressioni con i radicali, che sono appunto espressioni - a volte molto “ingarbugliate” - che devono essere riordinate e semplificate il più possibile.
Qui di seguito svolgeremo passo passo tre espressioni di questo tipo, una delle quali avrà dei radicali contenenti una parte letterale.
Primo esercizio
Consideriamo l’espressione: $$\sqrt{7+3\sqrt{5}} \cdot \sqrt{7 - 3 \sqrt{5}} + \left ( \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6} \right ) \left ( \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} \right )$$I primi due termini sono dei radicali doppi, ma piuttosto che trasformarli notiamo che i radicandi sono molto simili e soprattutto che i radicali hanno lo stesso indice. Possiamo quindi moltiplicare direttamente i due termini, utilizzando la regola per la moltiplicazione tra radicali, ottenendo:
##KATEX##\begin{aligned}& \sqrt{(7+3\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})} + \left ( \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6} \right ) \left ( \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} \right ) = \\= \ & \sqrt{49 - 45} + \left ( \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6} \right ) \left ( \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} \right ) = \\= \ & 2 + \left ( \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6} \right ) \left ( \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} \right )\end{aligned}##KATEX##
Dobbiamo ancora svolgere la moltiplicazione tra $\left ( \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6} \right )$ e $\left ( \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} \right )$. Anziché procedere moltiplicando membro a membro (che va comunque bene, ma è un po’ più lungo) possiamo riscrivere la moltiplicazione in questo modo: $$\left [ (\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{6} \right ] \left [ (\sqrt{2} - \sqrt{3}) - \sqrt{6} \right ]$$Abbiamo quindi a che fare con un prodotto notevole: la somma per differenza $(A + B)(A-B)$, con $A = \sqrt{2} - \sqrt{3}$ e $B = \sqrt{6}$. Allora, riprendendo la nostra espressione, abbiamo:
##KATEX##\begin{aligned}& 2 + \left ( \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6} \right ) \left ( \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} \right ) = \\= \ & 2 + \left [ (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 - 6 \right ] = \\= \ & -4 + (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = \\= \ & -4 + 2 + 3 - 2 \cdot \sqrt{2} \sqrt{3} = 1 - 2\sqrt{6}\end{aligned}##KATEX##
Abbiamo così concluso il nostro esercizio, dato che non possiamo andare oltre nel semplificare la nostra espressione.
Secondo esercizio
Consideriamo l’espressione: $$\sqrt{ \left ( \sqrt[3]{\frac{8}{3}} + \sqrt[3]{\frac{125}{3}} + \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \right ) \sqrt[3]{3}+ \sqrt{15}} \cdot \left ( \sqrt{\frac{15}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} \right )$$La moltiplicazione $\left ( \sqrt[3]{\frac{8}{3}} + \sqrt[3]{\frac{125}{3}} + \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \right ) \sqrt[3]{3}$ può essere svolta membro a membro utilizzando la regola del prodotto tra radicali, visto che tutti hanno lo stesso indice $3$. Quindi:
##KATEX##\begin{aligned}& \sqrt{ \left ( \sqrt[3]{\frac{8}{3}} + \sqrt[3]{\frac{125}{3}} + \sqrt[3]{\frac{1}{3}} \right ) \sqrt[3]{3}+ \sqrt{15}} \cdot \left ( \sqrt{\frac{15}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} \right ) = \\= & \sqrt{ \sqrt[3]{\frac{8}{3} \cdot 3} + \sqrt[3]{\frac{125}{3} \cdot 3} + \sqrt[3]{\frac{1}{3} \cdot 3} + \sqrt{15}} \cdot \left ( \sqrt{\frac{15}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} \right ) = \\= & \sqrt{ \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{125} + \sqrt[3]{1} + \sqrt{15}} \cdot \left ( \sqrt{\frac{15}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} \right ) = \\= & \sqrt{ 2 + 5 + 1 + \sqrt{15}} \cdot \left ( \sqrt{\frac{15}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} \right ) = \\= & \sqrt{ 8 + \sqrt{15}} \cdot \left ( \sqrt{\frac{15}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} \right )\end{aligned}##KATEX##
A questo punto vediamo che il primo termine della moltiplicazione è un radicale doppio, che può essere svolto utilizzando la formula appropriata:
##KATEX##\begin{aligned}\sqrt{ 8 + \sqrt{15}} & = \sqrt{\frac{8 + \sqrt{64 - 15}}{2}} + \sqrt{\frac{8 - \sqrt{64 - 15}}{2}} \\& = \sqrt{\frac{8 + 7}{2}} + \sqrt{\frac{8 - 7}{2}} = \sqrt{\frac{15}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}\end{aligned}##KATEX##
Quindi tornando alla nostra espressione,
##KATEX##\begin{aligned}& \sqrt{ 8 + \sqrt{15}} \cdot \left ( \sqrt{\frac{15}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} \right ) \\= & \left ( \sqrt{\frac{15}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} \right ) \cdot \left ( \sqrt{\frac{15}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} \right ) = \\= & \frac{15}{2} - \frac{1}{2} = \frac{14}{2} = 7.\end{aligned}##KATEX##
Terzo esercizio
Consideriamo un numero reale $a > 0$, e prendiamo l’espressione: $$ \left ( \sqrt{a^4 + a^5} + \sqrt{\frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^4}} - 2 \sqrt{a+1} \right ) : \left ( \sqrt{ \frac{a+1}{a} \sqrt[3]{\frac{a+1}{a}}} \right )^3 $$Iniziamo a lavorare su questa espressione raccogliendo e qualche termine sotto radice dove possibile:
##KATEX##\begin{aligned}& \left ( \sqrt{a^4 + a^5} + \sqrt{\frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^4}} - 2 \sqrt{a+1} \right ) : \left ( \sqrt{ \frac{a+1}{a} \sqrt[3]{\frac{a+1}{a}}} \right )^3 = \\= & \left ( \sqrt{a^4(1 + a)} + \sqrt{\frac{1}{a^4}(a + 1)} - 2 \sqrt{a+1} \right ) : \left ( \sqrt{ \frac{a+1}{a} \sqrt[3]{\frac{a+1}{a}}} \right )^3\end{aligned}##KATEX##
A questo punto possiamo portare fuori dal segno di radice i termini raccolti (possiamo farlo senza problemi perchè $a^4 > 0$) e fare qualche ulteriore raccoglimento:
##KATEX##\begin{aligned}& \left ( \sqrt{a^4(1 + a)} + \sqrt{\frac{1}{a^4}(a + 1)} - 2 \sqrt{a+1} \right ) : \left ( \sqrt{ \frac{a+1}{a} \sqrt[3]{\frac{a+1}{a}}} \right )^3 = \\= & \left ( a^2\sqrt{1 + a} + \frac{1}{a^2}\sqrt{a + 1} - 2 \sqrt{a+1} \right ) : \left ( \sqrt{ \frac{a+1}{a} \sqrt[3]{\frac{a+1}{a}}} \right )^3 = \\= & \sqrt{1 + a} \cdot \left ( a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \right ) : \left ( \sqrt{ \frac{a+1}{a} \sqrt[3]{\frac{a+1}{a}}} \right )^3\end{aligned}##KATEX##
Possiamo fare le seguenti osservazioni.
Facendo denominatore comune nel termine $a^2 + \frac{1}{a^2} - 2$ otteniamo $\frac{a^4 +1 - 2a^2}{a^2}$ e si vede che il numeratore è in realtà un prodotto notevole: è infatti uguale al quadrato $(A + B)^2$ con $A = a^2$ e $B = -1$.
Il termine $\left ( \sqrt{ \frac{a+1}{a} \sqrt[3]{\frac{a+1}{a}}} \right )^3$, che non abbiamo ancora toccato, può essere “sistemato” utilizzando le proprietà dei radicali:
##KATEX##\begin{aligned}\left ( \sqrt{ \frac{a+1}{a} \sqrt[3]{\frac{a+1}{a}}} \right )^3 & = \left ( \sqrt{ \sqrt[3]{ \left ( \frac{a+1}{a} \right )^4}} \right )^3 = \\& = \left ( \sqrt[6]{ \left ( \frac{a+1}{a} \right )^4} \right )^3 = \\& = \left ( \sqrt[3]{ \left ( \frac{a+1}{a} \right )^2} \right )^3 = \left ( \frac{a+1}{a} \right )^2.\end{aligned}##KATEX##
Teniamo conto di queste osservazioni e risolviamo la nostra espressione:
##KATEX##\begin{aligned}& \sqrt{1 + a} \cdot \left ( a^2 + \frac{1}{a^2} - 2 \right ) : \left ( \sqrt{ \frac{a+1}{a} \sqrt[3]{\frac{a+1}{a}}} \right )^3 = \\= \ & \sqrt{1 + a} \cdot \frac{(a^2 -1)^2}{a^2} : \left ( \frac{a+1}{a} \right )^2 = \\= \ & \sqrt{1 + a} \cdot \frac{(a^2 -1)^2}{a^2} \cdot \frac{a^2}{(a+1)^2} = \\= \ & \sqrt{1+a} \cdot \frac{(a^2 -1)^2}{(a+1)^2} = \\= \ & \sqrt{1+a} \cdot \frac{\left ( (a -1)(a+1) \right )^2}{(a+1)^2} = \sqrt{1+a} \cdot \frac{(a -1)^2(a+1)^2}{(a+1)^2} = \sqrt{1+a} (a -1)^2\end{aligned}##KATEX##