Formule di duplicazione e uguaglianza di seno e coseno

Dimostrazione le formule di duplicazione del seno e del coseno e dell'uguaglianza tra il coseno di un angolo e il coseno del suo opposto.

Raccogliamo innanzitutto le identità trigonometriche viste fin'ora:

Seno (definizione): $\sin( \theta) = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}}$ (“SOH”)
Coseno (definizione): $\sin( \theta) = \frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}$ (“CAH”)
Tangente: $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ (“TOA”)
Cotangente: $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$
Secante: $\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$
Cosecante $\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$
Identità Fondamentale: $(\cos(\theta))^2 + (\sin(\theta))^2 = 1$
$(\tan(\theta))^2 + 1 = (\sec(\theta))^2$

Formule del seno e coseno della somma di due angoli:

$\sin (a + b) = (\cos a)(\sin b) + (\sin a)(\cos b)$

$\cos (a + b) = (\cos a)(\cos b) - (\sin a)(\cos b)$

Sulla base di queste, dimostriamo nel video:

La formula di duplicazione del seno, con cui è possibile esprimere il seno del doppio di un angolo in funzione di seno e coseno del solo angolo secondo l'identità: $\sin(2a) = 2 \sin(a) \cos(a)$
La formula di duplicazione del coseno, con cui analogamente si esprime il coseno del doppio di un angolo mediante funzioni trigonometriche del solo angolo singolo, secondo l'identità : $\cos(2a) = (\cos(a))^2 - (\sin(a))^2$
L'uguaglianza del coseno di un angolo negativo con il coseno dello stesso angolo preso positivo: $\cos(-a) = \cos(a)$

Relatori

Khan Academy

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