Traslazioni, rotazioni e simmetrie sono trasformazioni che mantengono invariate le distanze, e quindi anche la forma di una figura geometrica. Per questo motivo tutte le trasformazioni elencate vengono chiamate nel loro complesso isometrie, dalla parola greca isos che significa “uguale”, e metrikos, “misura”.
Ci sono poi trasformazioni che cambiano le distanze senza modificare la forma di una figura, aumentandone o riducendone le dimensioni e rispettando la scala, ovvero il rapporto tra le misure. È ciò che fanno le omotetie, trasformazioni del piano che dilatano o contraggono gli oggetti “proiettandoli” a partire da un punto chiamato centro dell’omotetia. La figura seguente presenta un esempio dove il triangolo di vertici $A_1$, $B_1$ e $C_1$ è stato ottenuto da quello di vertici $A$, $B$ e $C$ a partire dal centro $\mathcal{O}$.
Le omotetie modificano le distanze ma non alterano gli angoli, trasformando rette in rette e conservando la forma.
Quali sono le equazioni di una omotetia nel piano cartesiano? Ci occupiamo soltanto di omototie con centro l’origine degli assi. Questo perché per “spostare” il centro è sufficiente comporre l’omotetia con centro l’origine con una traslazione adeguata. Detto questo le equazioni sono le seguenti:
$$\begin{cases} X = kx \\ Y = ky \end{cases}$$
Qui $k$ è chiamato il rapporto di omotetia e esprime quantitativamente di quanto viene ingrandita ($k>1$) o rimpicciolita ($k<1$) la figura.
È importante notare come il fattore moltiplicativo nelle equazioni sia il medesimo per la $X$ e per la $Y$. Se vogliamo conservare gli angoli non possiamo prescindere da questo. Tuttavia è utile sapere qual è l’effetto di una più generica trasformazione in cui i rapporti di dilatazione siano diversi per le due coordinate: $$\begin{cases} X = ax \\ Y = by \end{cases}$$ In questo caso ascissa e ordinata vengono dilatate o compresse in modo diverso e quella rappresentata costituisce un caso particolare di trasformazione affine. Il risultato complessivo è quello di “stirare” la figura in una certa direzione.
Per capire meglio facciamo un esempio e partiamo dall’equazione della circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine degli assi
$$x^2+y^2=1$$
Per applicare la trasformazione otteniamo $x$ e $y$; in termini di $X$ e $Y$ con le formule inverse: $$\begin{cases} x = \frac{X}{a} \\ y=\frac{Y}{b}\end{cases}$$ e sostituiamo ottenendo: $$\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$$ che è l'equazione di un ellisse. Come possiamo vedere dalla figura, quindi, la deformazione introdotta è proprio quella che trasforma una circonferenza in una ellisse.
