Cosa può succedere quando disegnamo una retta e una parabola sullo stesso foglio di carta? Nel caso di due rette non è necessaria molta immaginazione per scoprire cosa accade. Esse possono non toccarsi mai (ed essere quindi sghembe) o intersecarsi in un punto (diventando incidenti). Quando consideriamo una curva come la parabola però può essere necessario soffermarsi e riflettere un po’ per capire quali situazioni si possono presentare.
I casi possibili sono sostanzialmente tre. Innanzitutto la retta e la parabola possono andare ognuna per la propria strada senza incontrarsi mai. Se succede questo si dice che la retta è esterna alla parabola.
Retta e parabola possono incontrarsi.
In questo caso, illustrato dalla figura, i punti di intersezione sono due ben distinti e si dice che la retta è secante la parabola.
Non ci sono limiti alla distanza tra i punti di intersezione di una retta secante una parabola. Essi possono essere molto lontani tra di loro o vicinissimi, così vicini addirittura da coincidere. Questo caso, raffigurato qui di seguito, rappresenta l’ultima possibilità cui abbiamo accennato e corrisponde a una retta tangente alla parabola.
In questo disegno, in cui il fuoco della parabola è indicato dal punto $A$, $T$ è l’unico punto in comune alla parabola e alla retta e viene chiamato punto di tangenza.
Va sottolineato un fatto importante: la retta è tangente alla parabola non se la interseca in un solo punto ma se è quella particolare secante per cui i due punti di intersezione sono tanto vicini da coincidere. Può succedere infatti che la retta intersechi una parabola in un solo punto visibile: quando è parallela all’asse di simmetria (o in modo equivalente perpendicolare alla direttrice). Si tratta di una particolare retta secante in cui uno dei due punti è scappato all’infinito e non è più possibile rappresentarlo su un foglio.
Come si traduce dal punto di vista algebrico il fatto che una retta sia esterna, secante o tangente a una parabola? I punti di intersezione sono quelli che appartengono a entrambe le curve e quindi ne soddisfano entrambe le equazioni. Ponendo a sistema l’equazione della retta e quella della parabola si ottiene un sistema di secondo grado; l’equazione di secondo grado risolvente, come ogni equazione di secondo grado, può avere: due soluzioni distinte (discriminante $\Delta>0$), che rappresentano le ascisse dei due punti (distinti) di intersezione; due soluzioni coincidenti ($\Delta=0$) che sono le ascisse del punto di tangenza; o nessuna soluzione ($\Delta=0$) ovvero nessun punto di intersezione. Queste situazioni corrispondono quindi rispettivamente a una retta secante, tangente o esterna alla parabola.