In questa lezione dimostriamo il teorema di Carnot, o del coseno. Esso è uno dei due teoremi più importanti della trigonometria, assieme al teorema dei seni.
Esso asserisce quanto segue:
In un triangolo qualsiasi il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati della misura degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto di queste due misure moltiplicate per il coseno dell’angolo che tali lati formano.
Indicando con $a$, $b$ e $c$ le misure dei lati del triangolo, e con $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ gli angoli rispettivamente opposti ad essi, possiamo scrivere che$$ \begin{array}{l} a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos(\alpha) \\b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos(\beta) \\ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \end{array}$$Per la dimostrazione di questo teorema è necessario il teorema di Pitagora e l’applicazione delle formule trigonometriche nei triangoli rettangoli, nonchè qualche semplice calcolo algebrico.
Concludiamo la lezione con lo svolgimento di qualche semplice esercizio.