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La circuitazione del campo elettrico

La circuitazione è un concetto matematico che rende conto del contributo di un campo vettoriale lungo un percorso chiuso, un circuito appunto. Posto che tutti sappiano che cos’è una linea chiusa, per capire di che cosa si tratta la circuitazione abbiamo quindi bisogno innanzitutto di capire che cos’è un campo vettoriale.

Un vettore è un’entità matematica caratterizzata da quattro attributi: modulo (la sua lunghezza), direzione (la retta su cui giace il vettore), verso (il verso in cui punta il vettore sulla propria direzione) e punto di applicazione (il punto dal quale ha origine il vettore). In parole povere si tratta di una “freccia” che scaturisce da un punto nello spazio.

Un campo vettoriale è una legge che assegna a ciascun punto (nello spazio) un vettore. Questo vettore può essere sempre uguale in modulo, direzione e verso (nel qual caso si parla di campo vettoriale uniforme), ma, la maggior parte delle volte, varia di punto in punto. Il campo elettrico $\vec{E}$ è un esempio di campo vettoriale.

 

Supponiamo ora di compiere un percorso chiuso, $\Gamma$: al termine di questo percorso, saremo tornati al punto di partenza; indichiamo con $\Delta \vec{s}_1$, $\Delta \vec{s}_2$, eccetera sino a $\Delta \vec{s}_{N}$, gli spostamenti successivi che complessivamente formano il cammino chiuso $ \Gamma $, come illustrato nella figura seguente:



Supponiamo inoltre che, in corrispondenza dei vari spostamenti $\Delta \vec{s}_i$, il campo elettrico $\vec{E}$ abbia rispettivamente i valori $\vec{E}_i$. Definiamo allora la circuitazione del campo elettrico lungo il percorso da noi scelto come la somma dei prodotti scalari tra il valore del campo elettrico $\vec{E}_i$ e il corrispondente spostamento $\Delta \vec{s}_i$: $$ \text{Circuitazione del campo elettrico lungo } \Gamma = \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i $$Si osservi che, moltiplicando per una carica $q$ la formula precedente, si ottiene $$q \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i = \sum_{i=1}^N q \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i \cdot \Delta \vec{s}_i $$, dove $\vec{F}$ rappresenta la forza di Coulomb; il lettore attento riconoscerà l’espressione del lavoro compiuto da una forza: $ \mathcal{L}_{\Gamma} = \sum_{i=1}^N \vec{F}_i \cdot \Delta \vec{s}_i $. In effetti, se il campo che consideriamo è un campo di forze, la circuitazione del campo è proprio il lavoro svolto dalla forza lungo il percorso chiuso considerato: il campo elettrico però non è una forza! Dimensionalmente, infatti, il campo elettrico si misura in Newton su Coulomb, $\text{N}/\text{ C} $, mentre una forza si misura solo in Newton $\text{N}$. Moltiplicando il campo elettrico per una carica elettrica otteniamo, dimensionalmente, una forza, e dunque la circuitazione del campo elettrico per una carica rappresenterà il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica.

Ma la forza elettrostatica è una forza conservativa: ciascuna carica $q$, immersa in un campo elettrico, è dotata, infatti, di un’energia potenziale elettrostatica $ U_q $, che viene appunto definita come il lavoro svolto dalla forza elettrostatica per spostare la carica $q$ da un punto prestabilito (solitamente posto infinitamente lontano) sino al punto in cui la carica si trova. Per la stessa definizione di energia potenziale, quindi, il lavoro svolto dalla forza elettrostatica per spostare una carica $q$ da un punto $A$ ad un punto $B$ può essere computato conoscendo il valore dell’energia potenziale in ciascuno dei due punti: $\mathcal{L}_{A \to B} = U_q (A) - U_q (B)$.

Da questa definizione segue che il lavoro svolto dalla forza elettrostatica lungo un percorso chiuso, come il nostro $\Gamma$, è nullo: $$ \mathcal{L}_{\Gamma} = \mathcal{L}_{O \to O} = U_q (O) - U_q (O) = 0 $$

Essendo la carica $q$ diversa da zero, possiamo pensare di dividere per $q$ il lavoro svolto dalla forza elettrostatica lungo $\Gamma$ per riottenere la circuitazione del campo elettrico lungo $\Gamma$: ma essendo il lavoro nullo, otteniamo che la circuitazione del campo elettrico è nulla. Infatti:$$ q \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i = \mathcal{L}_{\Gamma} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\not{q} \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i }{\not{q}} = \sum_{i=1}^N \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i = 0$$Tutto questo ragionamento è stato svolto sotto l’unica ipotesi che il percorso $\Gamma$ fosse una curva chiusa: ha pertanto validità generale, qualunque sia la curva chiusa lungo la quale viene calcolata la circuitazione.

La definizione di circuitazione che abbiamo posto prevede di spezzare il percorso $\Gamma$ in spostamenti successivi $\Delta \vec{s}_i$; ma in realtà, come si può evincere dal disegno, mentre il percorso è una linea in generale curva, i vari spostamenti sono quantità vettoriali che lo approssimano con una spezzata poligonale chiusa. Possiamo migliorare la qualità di questa approssimazione incrementando il numero di spostamenti: man mano che gli spostamenti $\Delta \vec{s}_i$ si infittiscono, essi si fanno sempre più corti, diventanto, al limite, un infinito numero di spostamenti infinitesimi $d \ \vec{s}$.

 

Ora, i vari contributi alla circuitazione $ \vec{E}_i \cdot \Delta \vec{s}_i $ diventano anch’essi in numero infinito: la somma infinita di valori infinitesimi prende il nome, in matematca, di integrale, indicato con il simbolo $\int$; per cui, la formula più generale che riassume il concetto appena esposto è $$ \oint \vec{E} \cdot d \ \vec{s} = 0 $$ dove il circolo posto sopra il simbolo di integrale, $\oint$, serve a ricordarci che l’integrale viene svolto lungo una curva chiusa. Questo risutlato può anche essere ottenuto grazie ad un'applicazione del teorema di Stokes.

La presenza di un potenziale elettrico $V$ e il fatto che la circuitazione del campo elettrico, lungo una qualsiasi linea chiusa, sia nulla sono due fenomeni inscindibilmente legati tra loro: in effetti si può dimostrare che la presenza di un potenziale elettrico implica circuitazione nulla e che, viceversa, il fatto che la circuitazione sia nulla ci permette di trovare un potenziale elettrico.