Partiamo dalla nota formula per il calcolo dell'area di un triangolo, base per altezza diviso due:
$Area = \frac{b \cdot h}{2}$
e cerchiamo di ricondurla a quella di Erone:
$Area = \sqrt{ S ( S - a )( S - b )( S - c)}$
assumendo di conoscere solo i tre lati del triangolo: $a, b, c$, e dunque il semiperimetro $S = \frac{a+b+c}{2}$.
Consideriamo come base il lato $c$ e tracciamo l'altezza $h$ che lo divide in due segmenti, che indichiamo con $x$ e $(c-x)$ (in un triangolo qualsiasi è sempre possibile trovare un lato la cui altezza cada all’interno del triangolo).
Applicando il teorema di Pitagora ai due triangoli rettangoli in cui l'altezza $h$ ha diviso il nostro triangolo di partenza, riusciamo a scrivere $h$ in funzione di $a$, $b$ e $c$, nella relazione:
$$h = \sqrt {a^2 - \left(\frac {c^2 + a^2 - b^2}{2c}\right)^2}$$
A questo punto sostituiamo l'espressione di $h$ trovata nella formula iniziale dell'area $A = \frac{bh}{2}$ (ricordando che la base $b$ nel nostro disegno è il lato $c$) e otteniamo:
$$ A = \frac{1}{2} c \sqrt{a^2 - \left( \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2c} \right)^2} $$
Si tratta già della formula di Erone, in una forma più complicata di quella cercata. Verifichiamo con un esempio la sua efficacia, ma proseguiamo nel prossimo video per arrivare alla forma più agile:
$$ Area = \sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)} $$