Dimostrazione dell'equivalenza tra le due forme della formula di Erone.
In questa lezione vedremo come, partendo dalla formula ottenuta nel video precedente:
$$ Area = \frac{1}{2} c \sqrt{a^2 - \left( \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2c} \right)^2} $$
arrivare all'equivalente più comoda:
$$ Area = \sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)} $$ con $a$, $b$, $c$ lati del triangolo e $S = \frac{a+b+c}{2}$ semiperimetro.
Innanzitutto portiamo tutti i fattori della prima formula sotto radice ed effettuiamo le debite semplificazioni. Ci riduciamo così alla differenza di due quadrati, un prodotto notevole che possiamo riscrivere per esteso come prodotto della somma per la differenza delle due radici dei quadrati.
Proseguendo con moltiplicazioni, semplificazioni e raccoglimenti arriviamo in fine alla formula:
$$ A = \sqrt{ \frac{c + a + b}{2} \frac{c + a - b}{2} \frac{b + c - a}{2} \frac{b - c + a}{2}}$$
A questo punto ci accorgiamo che $ (c + a - b) $ è considerabile come uguale a $(a + b + c -2b)$, e ragionare analogamente sugli altri numeratori.
Inseriti i numeratori così sostituiti nell'espressione, chiamiamo $S = \frac{a+b+c}{2}$, così da arrivare agilmente per semplificazioni alla formula di Erone cercata:
$$ Area = \sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)} $$