Quanti sono i punti di una circonferenza? Naturalmente sono infiniti, tuttavia per individuare ogni circonferenza non è necessario conoscerli tutti. Un teorema della geometria euclidea infatti stabilisce che per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
Questo significa che tre punti sono sufficienti per mettere sull’attenti tutti gli altri, stabilendo univocamente dove si trova il centro e quanto vale il raggio della curva su cui devono disporsi. Non solo sono sufficienti ma sono anche necessari, non possiamo fare a meno di nessuno di loro. Se infatti prendiamo due punti soltanto, di circonferenze che passino per essi ce ne sono infinite. Basta quindi che manchi un solo elemento della tripletta perché il nostro problema non possa essere risolto.
Se utilizziamo la geometria di Euclide la dimostrazione di questo fatto può essere piuttosto impegnativa. Al contrario la geometria analitica ci viene incontro e ci permette di capire abbastanza semplicemente perché i punti necessari sono esattamente tre, non uno di più né uno di meno. In generale una circonferenza può essere rappresentata attraverso un’equazione della forma $$x^2+y^2+ax+by+c=0.$$
Quindi basta conoscere i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$ per determinarla univocamente. E’ il fatto che i parametri cui assegnare un valore siano proprio tre a far sì che esattamente tre siano le condizioni da soddisfare.
Ma come si impone il passaggio di una circonferenza per un punto? Il fatto che un punto $P \equiv (x_0;y_0)$ appartenga a una curva $\mathcal{C}$ significa, per quel che riguarda l’algebra, che le sue coordinate soddisfano l’equazione di $\mathcal{C}$. Quindi per ottenere la soluzione è sufficiente sostituire alle variabili $x$ e $y$ nell’equazione i valori delle coordinate per ciascun punto ottenendo tre equazioni lineari in $a$, $b$ e $c$ che devono valere contemporaneamente. Risolvendo il sistema che ne deriva si giunge al risultato cercato.
Facciamo un esempio e proviamo a individuare la circonferenza che passa per i punti $A\equiv(1,2)$ $B\equiv(0,-1)$ e $C\equiv(-1,1)$. Ricordiamo ancora una volta l'equazione della circonferenza: $$x^2+y^2+ax+by+c=0.$$ Imponendo il passaggio per $A$ otteniamo $$1^2+2 \cdot 2+a\cdot 1+b \cdot 2 +c =0$$ mentre da $B$ otteniamo $$1-b+c=0$$ e infine da $C$ ricaviamo $$1+1-a+b+c=0.$$ Le tre condizioni messe insieme formano un sistema lineare $$ \begin{cases} a+2b+c =-5 \\ b-c=-1 \\ a-b-c=2 \end{cases} $$ che ha per soluzione $a=-1$, $b=-1$ e $c=-2$ da cui l’equazione $x^2+y^2-x-y-2=0$.