Le leggi di Kirchhoff sono due gruppi o sistemi di equazioni che regolano le correnti e le differenze di potenziale in un circuito elettrico. Furono formulate e sperimentalmente convalidate dal fisico tedesco Gustav Kirchhoff nel 1845.
Ricordiamo di seguito alcune convenzioni di rappresentazione dei circuiti elettrici che ci saranno utili per enunciarle.
Un circuito elettrico è un qualsiasi percorso chiuso costituito da uno o più fili di materiale conduttore. Gli elementi geometrici distintivi di un circuito elettrico sono tre: i nodi, i rami e le maglie.
- I nodi sono punti del circuito in cui confluiscano almeno tre elementi di filo conduttore.
- I rami sono i tratti di filo conduttore che collegano i nodi.
- Le maglie sono percorsi chiusi individuati all’interno di un circuito.
Con riferimento alla figura precednete, il circuito è formato dai segmenti neri. I punti $A$, $C$, $D$, $E$, e $G$ non sono nodi, siccome sono collegati da solo due elementi di conduttori; sono nodi invece i punti $B$ e $F$. In blu, rosso e verde sono evidenziate le maglie che compongono il circuito in questione; i rami sono $BAF$, $BGF$ e $BCDEF$.
Ricordiamo inoltre le convenzioni per rappresentare elementi resistivi e generatori di forza elettromotrice all’interno di un circuito nella figura seguente.
Prima legge di Kirchhoff o Legge dei Nodi
La prima legge di Kirchhoff riguarda un qualsiasi nodo del circuito. Essa asserisce che la somma algebrica delle intensità di corrente di tutte le correnti confluenti in un nodo è nulla, se prendiamo con un dato segno le correnti entranti e con il segno opposto quelle uscenti. Questa legge può essere enunciata mediante la formula $$ \sum_{k} i_k = 0 $$ove $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_k$, $\dots$ sono le varie correnti che confluiscono nel nodo considerato; i segni delle correnti sono stabiliti arbitrariamente, ma coerentemente: di norma, una volta scelto il segno di una delle correnti, le altre si comportano conseguentemente. Se, dalla risoluzione delle equazioni, si otterrà un’intensità di corrente negativa, allora la corrente scorrerà nel verso opposto a quello scelto arbitrariamente per imporre la legge di Kirchhoff.
Seconda legge di Kirchhoff o Legge delle Maglie
La seconda legge di Kirchhoff riguarda ogni maglia che costituisce il circuito. Essa stabilisce che la somma algebrica delle forze elettromotrici presenti nei rami della maglia è uguale alla somma algebrica delle differenze di potenziale ai capi dei restori situati nei rami della maglia. Ricordando la legge di Ohm, la differenza di potenziale ai capi di un resistore di resistenza $R$ percorso da corrente di intensità $i$ vale proprio $R \ i$, quindi la legge delle maglie può essere riassunta dalla formula $$ \sum_k R_k \ i_k = \sum_k \mathscr{E}_k $$Esiste una convenzione sui segni con i quali intensità di corrente e f.e.m. devono essere prese. Innanzitutto, per ciascuna maglia, scegliamo arbitrariamente un verso di percorrenza, orario o antiorario. Allora valgono le seguenti affermazioni:
- Se in un ramo di resistenza $R_h$ la corrente di intensità $i_h$ ha verso concorde con quello scelto per la maglia cui appartiene, $R_h \ i_h$ ha segno positivo, altrimenti ha segno negativo
- Se la sorgente di forza elettromotrice $\mathscr{E}_k$ viene attraversata dal senso di percorrenza fissato per la maglia cui appartiene dal polo positivo al polo negativo, essa va presa con segno positivo, altrimenti con segno negativo
Mettiamo in evidenza questa convenzione con l’illustrazione seguente:
Per ragioni che esulano dallo scopo di questa lezione, principalmente per risultati di geometria, non è necessario considerare tutte le maglie presenti nella rete elettrica quando si impone la seconda legge di Kirchhoff: alcune equazioni risulteranno dipendenti dalle altre, ossia, le loro soluzioni saranno incluse nelle soluzioni di altre equazioni e, di conseguenza, sono superflue. In una rete con $N$ nodi ed $L$ rami, il numero di maglie $M$ indipendenti dalle altre è dato dalla seguente equazione: $$ M = L - N +1 $$
Concludiamo il tutto con un esempio.
Esercizio
Consideriamo la seguente rete elettrica:
Di questa rete sono noti i valori delle due f.e.m., $\mathscr{E}_1 = 18 \text{ V}$ e $\mathscr{E}_2 = 12 \text{ V}$, e i valori delle resistenze $R_1 = 12 \ \Omega$, $R_2 = 2 \ \Omega$, $R_3 = 6 \ \Omega$ ed $R_4 = 4 \ \Omega$. Si richiede di determinare l’intensità di corrente erogata da ciascun generatore e l’intensità di corrente che passa attraverso la resistenza $R_3$.
Soluzione
Innanzitutto procediamo con l’identificare i componenti geometrici della rete in esame. Gli unici nodi della rete sono i punti $B$ e $C$; di conseguenza i rami sono, tre i tratti $CDAB$, $CB$ e $CFEB$. Consideriamo infine le maglie $ABCD$ e $BEFC$, in cui scegliamo il verso di percorrenza indicato dalle frecce in figura. È sufficiente infatti considerare $2$ maglie, poichè siamo in presenza di $2$ nodi e $3$ rami, e $3 -2 +1 =4-2 = 2$.
Siccome le correnti $i_1$ e $i_2$ sono incognite, non possiamo conoscere il loro verso; stabiliamo dunque arbitrariamente che $i_1$ e $i_2$ circolino nello stesso verso delle frecce in figura: se a seguito dei conti otterremo un risultato negativo, la corrente andrà nel verso opposto a quello indicato in figura. Soffermiamoci un attimo sulla resistenza $R_3$: chiamiamo $i_3$ la corrente che la attraversa, e, analogamente per quanto fatto con $i_1$ e $i_2$, stabiliamo arbitrariamente il suo verso come da $B$ verso $C$. A questo punto, per la prima legge di Kirchhoff applicata al nodo $C$, la corrente $i_3$ è pari a $i _3 = i_1 - i_2$: il verso di $\overrightarrow{BC}$ è concorde con quello prescelto per $i_1$ (e quindi viene presa con segno positivo) ma discorde da quello di $i_2$ (che appunto viene messa negativa).
Scriviamo ora la seconda legge di Kirchhoff applicata alle maglie $ABCD$ e $BEFC$: $$ R_1 \ i_1 + R_3 (i_1 - i_2) = -\mathscr{E}_1 \quad, \quad (R_2 + R_4) \ i_2 - R_3 \ (i_1 - i_2) = \mathscr{E}_2 $$dove nell’equazione per la seconda maglia si deve tenere presente che le resistenze $R_2$ ed $R_4$ sono poste in serie. Ora riordiniamo le precedenti equazioni mettendo in evidenza le due intensità di corrente: $$ \begin{cases} (R_1 + R_3 ) \ i_1 - R_3 \ i_2 = -\mathscr{E}_1 \\ - R_3 \ i_1 + (R_2 + R_3 + R_4) \ i_2 = \mathscr{E}_2 \end{cases}$$Sostituiamo i valori a noi noti, e otteniamo $$ \begin{cases} 18 \ i_1 - 6 \ i_2 = -18 \\ - 6 \ i_1 + 12 \ i_2 = 12 \end{cases}$$Questo è un sistema lineare di due equazioni in due incognite: si può risolvere in un modo qualunque, come ad esempio con il metodo della sostituzione o con il metodo di Cramer.
Ad ogni modo, la soluzione numerica che si ottiene indica che$$ i_1 = -0.8 \text{ A} \quad , \quad i_2 = 0.6 \text{ A}$$Di conseguenza, l’intensità della corrente passante attraverso $R_3$ è pari a $$i_3 = i_1 - i_2 = -1.4 \text{ A}$$Concludiamo che la situazione è la seguente: la corrente erogata dal generatore $\mathscr{E}_1$ ha un’intensità di $0.8 \text{ A} $ e circola in verso opposto a quello prescelto nella maglia $ABCD$; la corrente erogata dal generatore $\mathscr{E}_2$, di $0.6 \text{ A}$ , scorre invece nel verso scelto per la maglia $BEFC$; la corrente $i_3$, di $1.4 \text{ A}$, scorre da $C$ verso $B$. Riassumiamo quanto detto nella figura seguente:
