Enunciato del Teorema dei Due Carabinieri.
Sia $I \subset \mathbb R$ un intervallo di numeri reali, e siano $f$, $g$ ed $h$ funzioni continue su $I$ tali che $$ g(x) \leq f(x) \leq h(x) \quad \forall x \in I $$
Sia inoltre $a \in I$ un punto di accumulazione per $I$ ed esistano uguali i limiti $\displaystyle{\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L.}$
Allora $\displaystyle{\lim_{x \to a} f(x) = L}$.
Non è necessario che le funzioni siano definite per $x = a$, solo che esistano i due limiti $\lim_{x \to a} g(x)$ e $\lim_{x \to a} h(x)$, e che abbiano lo stesso valore $L$, il quale può anche essere infinito. Il teorema ci garantisce, sotto opportune ipotesi, che anche la funzione “di mezzo”, $f$, segua lo stesso comportamento.
Con il supporto del Teorema dei Due Carabinieri è possibile dimostrare il limite notevole $ \displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}= 1}$, come mostrato nel prossimo video.