Il moto più semplice è il moto rettilineo: si tratta di un punto materiale confinato a muoversi su di una retta.
Introduciamo dunque un sistema di riferimento $\mathcal{O} x$ su questa retta, che sarà, per ovvi motivi, monodimensionale. La coordinata $x$ si misura in metri a partire dal punto $\mathcal{O}$, che occupa la posizione di coordinata $x = 0$. Indicheremo invece con $t, t_1, t_2, \dots$ i vari istanti di tempo, che misureremo in secondi.
Supponiamo ora che a un certo istante, diciamo $t_1 = 0 \text{ s}$, un punto materiale posto su questa retta sia nell’origine, cioè occupi la posizione $x_1 = 0 \text{ m}$; all’instante $t_2 = 2 \text{ s}$ invece il punto si trovi ad occupare la posizione indicata dalla coordinata $x_2 = 20 \text{ cm}$. Ne deduciamo che il punto materiale si è spostato. Ma di quanto? E in quanto tempo? Quanto “velocemente”?
Intuitivamente, la velocità è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo. Diamo ora delle definizioni più precise.
Chiamiamo spostamento la differenza tra la posizione finale e la posizione iniziale:
$$ \Delta x = x_2 - x_1 = x_{finale} - x_{iniziale} $$
Chiamiamo durata dello spostamento l’intervallo di tempo impiegato a compierlo:
$$ \Delta t = t_2 - t_1 = t_{finale} - t_{iniziale} $$
Per un certo spostamento avvenuto in un certo intervallo di tempo, definiamo la velocità media $v_m$come il rapporto tra lo spostamento effettuato e la durata di tale spostamento:
$$ v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{finale} - x_{iniziale}}{t_{finale} - t_{iniziale}} $$
Essendo un rapporto tra spazio, misurato in metri, e tempo, misurato in secondi, l’unità di misura della velocità è il metro al secondo, $\text{m} / \text{s}$.
Per il nostro esempio, lo spostamento $\Delta x $ misura $x_2 - x_1 = 0,2 - 0 \text{ m} = 20 \text{ cm}$, avviene in un intervallo $\Delta t$ di $t_2 - t_1 = 2 - 0 \text{ s} = 2 \text{ s}$; dunque la sua velocità media è di $v_m = \frac{\Delta x }{\Delta t} = \frac{0,2}{2} = 0,1 \text{ m} / \text{s}$.
Si deve fare attenzione a questa definizione: la velocità media dipende dallo spostamento e dal tempo impiegato a percorrerlo.
Se immaginassimo di spezzare un singolo spostamento in più tratti, e di calcolare per ciascuno di questi tratti la velocità media relativa solo a quel tratto, avremmo a disposizione tante velocità medie: fare la media (aritmetica) di queste velocità non fornirebbe la velocità media relativa all’intero tratto; in altre parole, la media delle velocità non corrisponde alla velocità media. Chiariamo quanto detto con un esempio.
Per raggiungere l’ufficio Marco ci mette $10$ minuti. Per tornare indietro ce ne mette solo $5$ dal momento che la strada è in discesa. Calcolare la velocità media sull’intero percorso sapendo che la distanza ufficio-casa è di $500 \text{ m}$.
Impostiamo un sistema di riferimento di modo che l’origine sia la casa di Marco (coordinata $x = 0$), e alla coordinata $x = 500 \text{ m}$ corrisponda l’ufficio. La velocità media riferita all’intero tragitto è dunque $$ {v_m}_{\text{TOT}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0 - 0}{10 + 5 \text{ min}} = 0 $$
Invece, per il primo tratto, Marco ha una velocità media di ${v_m}_1 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{500 - 0}{10 - 0 \text{ min}} = \frac{500}{10} \frac{\text{m}}{\text{min}}$ $= \frac{500}{10 \cdot 60} \frac{\text{m}}{\text{s}} $ $= 0,83 \text{ m}/\text{s}$; mentre per il tratto di ritorno, Marco ha una velocità media di ${v_m}_2 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0 - 500}{15 - 10 \text{ min}} =$ $ \frac{-500}{5 \cdot 60} \frac{\text{m}}{\text{s}}$ $= -1,67 \text{ m}/\text{s}$.
La media delle singole velocità (medie) è quindi $\frac{1,67 + 0,83}{2} = 1,25 \text{m }/\text{ s}$, un risultato ben diverso dalla velocità media complessiva, che è nulla.
Forse il fatto che, in quest’ultimo esempio, la velocità media possa essere nulla, anche a fronte di un movimento, può risultare strano. Ma in realtà la cosa non deve stupire: la velocità media è un risultato approssimato: è come se, invece di guardare un movimento completo, ci limitassimo a guardare due fotografie, del suo inizio e della sua fine.
Infatti, in fisica si ricorre alla velocità istantenea: si tratta della velocità media calcolata su di un tratto molto molto breve, tale per cui il tempo impiegato a percorrerlo sia esiguo, quasi nullo, tendente a $0$. La velocità istantanea diventa quindi definita non su un tratto o per una particolare durata, ma in un istante specifico (da cui il nome) cui corrisponde una posizione specifica. Per questo motivo la velocità istantanea viene indicata come dipendente dalla variabile tempo: $v = v(t)$.
Usando il linguaggio dell’analisi matematica, essendo la coordianta $x$ una quantità espressa in funzione del tempo $t$, la velocità istantanea è il limite del rapporto incrementale della funzione posizione al tendere dell’incremento $\Delta t$ a zero: si tratta della derivata, rispetto al tempo, della posizione.
Tra i moti rettilinei, il più semplice possibile è quello in cui la velocità non cambia mai. Definiamo il moto rettilineo uniforme quel moto rettilineo in cui la velocità (media o istantanea) rimane costante: è quindi caratterizzato dalla legge $v = \text{ cost.}$, cui corrisponde la legge oraria: $$ \boxed{ x(t) = v \ t + x_0 } $$ ove $t$ indica il tempo trascorso dall’inizio dell’esperienza fisica, ed $x_0$ rappresenta la coordianta della posizione occupata dal punto materiale all’inizio di tale esperienza.