Come accade per parabole e circonferenze, anche rispetto all’ellisse una retta può assumere tre possibili posizioni: esterna, secante o tangente. A determinare quale delle situazioni si verifichi è, in questo caso, il numero di intersezioni tra le due figure geometriche:
Nessuna intersezione $\Rightarrow$ retta esterna
Una intersezione (o meglio due intersezioni coincidenti) $\Rightarrow$ retta tangente
Due intersezioni $\Rightarrow$ retta secante
Da questo punto di vista il comportamento dell’ellisse è del tutto identico a quello della circonferenza.
Ma esiste una procedura per trovare le rette tangenti a un’ellisse passanti per un punto? Per rispondere ricorriamo a un esempio: determinare le rette tangenti all’ellisse di equazione
$$ x^2 + 4y (y - 2) = 0 $$
passanti per il punto $P \equiv (3;2)$ esterno all'ellisse. L'ellisse e la posizione del punto sono rappresentati nella figura seguente.
Cominciamo col considerare tutte le rette passanti per $P$ che costituiscono il fascio proprio che passa per esso e che si distinguono l’una dall’altra solo per i differenti valori di coefficiente angolare $m$. Dalla formula per una retta passante per un punto otteniamo l’equazione
$$ y-2=mx-3m \Rightarrow y=mx-3m+2 $$
Per individuare le intersezioni è necessario risolvere il sistema di secondo grado tra l'equazione dell'ellisse e quella della retta: $$ \begin{cases} x^2 + 4y(y - 2) = 0 \\ y = mx - 3m + 2 \end{cases} $$ Per risolvere il sistema procediamo col metodo di sostituzione. Inseriamo le due espressioni ottenute per $y$ e $y-2$ nell’equazione dell’ellisse:
$$ x^2 + 4(mx - 3m + 2)(mx - 3m) = 0 $$
Iniziamo a occuparci del prodotto tra parentesi. Per farlo applichiamo la proprietà distributiva del prodotto considerando $ mx-3m $ come un “unico pezzo”.
$$ x^2 +4((mx-3m)^2 + 2(mx-3m)) = 0 $$
In questo modo possiamo utilizzare la formula del quadrato di binomio che semplifica un po’ i calcoli. Otteniamo così quanto segue:
$$ x^2 + 4(m^2x^2 - 6m^2x + 9m^2 + 2mx - 6m) = 0 $$
Eliminiamo l’ultima parentesi e mettiamo in ordine i vari termini a seconda del grado della $x$, partendo dai quadrati, per passare ai termini lineari e concludere coi termini noti, ottenendo $ x^2 + 4m^2x^2 + 8mx - 24m^2x + 36m^2 - 24m = 0$; raccogliamo le $x$, $(1 + 4m^2)x^2 + (8m - 24m^2)x + (36m^2-24m) = 0$; e infine per ogni parentesi raccogliamo tutto ciò che possiamo di volta in volta, ovvero nulla nella prima, $8m$ nella seconda e $12m$ nella terza:
$$ (1+4m^2)x^2 + 8m(1 - 3m)x + 12m (3m - 2) = 0 $$
Ci troviamo così di fronte a una equazione di secondo grado in $x$ del tipo $ax^2 + bx + c = 0$, in cui i coefficienti $a$, $b$ e $c$ sono tutti espressioni letterali che contengono $m$ (in particolare sono tutti polinomi in $m$). A stabilire quante siano le soluzioni di questa equazione è il segno del discriminante $\Delta=b^2 - 4ac$. In particolare le soluzioni finiscono per coincidere quando $\Delta = 0$. Dal momento che $b= 8m (1 - 3m)$ è pari possiamo usare la formula ridotta del discriminante che consente di usare numeri meno grandi e riduce quindi le possibilità di errore:
$$ \frac{\Delta}{4} = \left( \frac{b}{2} \right)^2 - a\cdot c = 0.$$
Visto che $\frac{b}{2} = 4m(1-3m)$, $a=(1+4m^2)$ e $c=12m(3m-2)$ ciò che otteniamo è:
$$ \frac{\Delta}{4} = 16m^2(1-3m)^2 - 12m(1+4m^2)(3m-2) = 0 $$
Cerchiamo di semplificare il più possibile i calcoli raccogliendo $4m$, fattore comune ad entrambi i termini:
$$ 4m [4m (1-3m)^2-3(1+4m^2)(3m-2)] = 0 $$
Quindi svolgendo tutte le parentesi tonde otteniamo: $$ 4m[4m(1-6m+9m^2)-3(3m-2+12m^3-8m^2)] = 0 $$ $$ 4m[4m - 24m^2 + 36m^3 - 9m + 6 - 36m^3 + 24m^2] = 0 $$
I termini in $m^3$ e $m^2$ dentro la parentesi si elidono e l’espressione si semplifica molto diventando:
$$ 4m (6 - 5m) = 0 $$
A questo punto due sono le possibili soluzioni:
$$ m=0, \qquad \qquad m=\frac{6}{5} $$
che corrispondono alle due rette $$ y=2 , \qquad \qquad y=\frac{6}{5}(x - 3) + 2 $$ rappresentate in figura.
