Quesiti
Quesito 1. È noto che$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} $$Stabilire se il numero reale $u$, tale che$$ \int_{-\infty}^{u} e^{-x^2} dx = 1 $$è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali, motivando le risposte:$$ A = \int_{-u}^{u} x^7e^{-x^2} dx \quad B = \int_{-u}^{u} e^{-x^2} dx \quad C = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-5x^2} dx $$Soluzione. Dato che $e^{-x^2}$ è una funzione pari, $ \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx =\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx $, quindi$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx + \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx = 2 \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx $$Di conseguenza,$$ \int_{-\infty}^{0} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} $$Questo numero è minore di $1$, come si può scoprire con una calcolatrice scientifica. Poiché $e^{-x^2}$ è una funzione sempre positiva, la sua funzione integrale $F(t)=\int_{-\infty}^{t} e^{-x^2} dx $ è (strettamente) crescente, deve essere $u > 0$. Ora calcoliamo gli integrali:
L’integranda in $A$ è una funzione dispari, integrata su un dominio simmetrico rispetto all’origine. Pertanto, $A = 0$.
Sappiamo che $ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} $ e che $ \int_{-\infty}^{u} e^{-x^2} dx = 1 $. Di conseguenza, $\int_{u}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} - 1 $. Riscriviamo adesso $B $ in questo modo$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \int_{-\infty}^{-u} e^{-x^2} dx + \int_{-u}^{u} e^{-x^2} dx + \int_{u}^{+\infty} e^{-x^2} dx $$Per ragioni di simmetria, $ \int_{u}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \int_{-\infty}^{-u} e^{-x^2} dx $, e quindi$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \int_{-u}^{u} e^{-x^2} dx + 2\int_{u}^{+\infty} e^{-x^2} dx \Rightarrow \int_{-u}^{u} e^{-x^2} dx = - \sqrt{\pi} -2 \left( \sqrt{\pi} - 1 \right) = 2-\sqrt{\pi}$$
Per svolgere $C$, effettuiamo il cambiamento di variabili $t = \sqrt{5}x$, e risolviamo l’integrale per sostituzione:$$ C = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{5}} e^{-t^2} dt = \sqrt{\frac{\pi}{5}} $$
Quesito 2. Data una parabola di equazione$$ y = 1 - ax^2, \qquad \text{ con } a > 0 $$si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull’asse $x$, nel segmento parabolico delimitato dall’asse $x$. Determinare $a$ in modo tale che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo.
Soluzione. Rappresentiamo il problema nella figura seguente:
Parametrizziamo ciascun rettangolo con il segmento $l$, di lunghezza compresa tra $0$ e $\sqrt{\frac{1}{a}}$, ed esprimiamo, proprio in dipendenza di $l$, perimetro $2p$ e area $A$ di un generico rettangolo inscritto nel segmento parabolico. Otteniamo che##KATEX##\begin{aligned} 2p & = 4l + 2 (1 - al^2) \\ A & = 2l \cdot \left(1 - al^2 \right) \end{aligned}##KATEX##Ora, per ottenere il rettangolo di perimetro massimo, deriviamo rispetto ad $l$ l’espressione per esso ottenuta, e analogamente facciamo con l’area:##KATEX##\begin{aligned} (2p)’ & = 4 - 4 al \\ (A)’ & = 2 - 6al^2 \end{aligned}##KATEX##Di conseguenza, $2p$ ed $A$ assumono valore massimo rispettivamente per $ l = \frac{1}{a}$ ed $ l = \sqrt{\frac{1}{3a}} $. Se vogliamo che questi due rettangoli coincidano, i due valori del parametro $l$ devono essere il medesimo: imponiamo quindi che$$ \frac{1}{a} = \sqrt{\frac{1}{3a}} $$Risovendo questa equazione irrazionale, otteniamo il valore $a = 3$.
Quesito 3. Un recipiente sferico con raggio interno $r$ è riempito con un liquido fino all’altezza $h$. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da:$ V = \pi \cdot \left( rh^2 - \frac{h^3}{3} \right) $
Soluzione. Il volume che vogliamo calcolare è il volume del solido ottenuto dalla rotazione della semicirconferenza di equazione $ y = \sqrt{r^2 - x^2}$ con $x$ compreso tra $-r$ e $h-r$. Quindi, mediante la formula per il calcolo dei volumi di rotazione,$$ V = \pi \int_{-r}^{h-r} \left( \sqrt{r^2 - x^2} \right)^2 dx = \pi \int_{-r}^{h-r} r^2 - x^2 dx = \left[ r^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^{h-r}$$Svolgendo i calcoli si arriva alla formula di cui in consegna.
Quesito 4. Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?
Soluzione. Possiamo modellare il problema con una binomiale di parametri $n = 10$ e $p = \frac{1}{4} = 0,25$. Per superare il test sono necessarie almeno $8$ risposte esatte, cioè esattamente $8$, $9$ o $10$ risposte esatte. La probabilità che questo avvenga è quindi$$ P = \binom{10}{8} \left(\frac{1}{4} \right)^8 \left( \frac{3}{4} \right)^2 + \binom{10}{9} \left(\frac{1}{4} \right)^9 \left( \frac{3}{4} \right)^1 + \binom{10}{10} \left(\frac{1}{4} \right)^{10} \left( \frac{3}{4} \right)^0 = \left(\frac{1}{4}\right)^8\left( \binom{10}{8} \left( \frac{3}{4} \right)^2 + 10 \frac{1}{4}\frac{3}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 \right) = \frac{109}{262144}$$
Quesito 5. Una sfera, il cui centro è il punto $K (-2,-1,2)$, è tangente al piano $\Pi$ avente equazione $2x - 2y + z -9 = 0$. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?
Soluzione. Il raggio della sfera è pari alla distanza tra $K$ e $\Pi$, data dalla formula, analoga a quella per la distanza tra punto e retta nel piano,$$ \frac{| (-2) \cdot 2 + (-1) \cdot (-2) + 2 \cdot 1 -9 |}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{9}{3} = 3 $$Il punto di tangenza è il punto di intersezione tra il piano $\Pi$ e la retta ad esso perpendicolare passante per il centro $K$ della sfera. Questa retta ha equazioni parametriche$$ \begin{cases} x = 2t -2 \\ y = -2t -1 \\ z = t +2 \end{cases}$$Sostituendo queste espressioni nell’equazione del piano $\Pi$, arriviamo all’equazione$$ 2(2t - 2) -2 (-2t -1) + (t+2 ) - 9 = 0 \Rightarrow 9t -9 = 0 \Rightarrow t = 1$$Per questo parametro otteniamo le coordinate del punto di tangenza: $ (0,-3, 3) $.
Quesito 6. Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta:
“Esiste un polinomio $P(x)$ tale che: $| P(x) - \cos(x)| \leq 10^{-3} \quad \forall x \in \mathbb{R}$”
Soluzione. Notiamo subito che, se il grado del polinomio $P$ fosse maggiore di $0$, sicuramente avremmo il limite $\lim_{x \to \infty} P(x) = \infty $. Dato che $-1 \leq \cos(x) \leq 1 \ \forall x \in \mathbb{R}$, si ha che $ | P(x) - \cos(x)| $ tende all’infinito.
Il grado di $P$ deve quindi essere $0$, ovvero $P(x) = c$ costante. Se fosse $c \geq 0$, i punti che soddisfano all’equazione trigonometrica $\cos(x) = -1$, cioè $x = \pi + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}$, disterebbero più di $1$ da $c$, ossia realizzerebbero a $ | P(x) - \cos(x)| > 1$. Lo stesso ragionamento si può effettuare nel caso in cui $c < 0$ con $x = 2 k \pi$.
In conclusione, l’affermazione è falsa.
Quesito 7. Una pedina è collocata nela casella in basso a sinistra di una scacchiera, come in figura.
Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa. Scelto casualmente un percorso di $14$ mosse che porti la pedina nella casella d’angolo opposta $A$, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con $B$?
Soluzione. Per risolvere questo problema, possiamo calcolare la probabilità mediante il rapporto$$ \frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$$I “casi possibili” sono tutte le combinazioni di $14$ mosse che portano la pedina in $A$: di queste $14$ mosse, esattamente $7$ devono essere verso destra (perché altrimenti usciamo dalla scacchiera, e non è nemmeno consentito “tornare indietro”), e di conseguenza altre $7$ verso l’alto; rimane solo da scegliere in quale modo ordine effettuare queste mosse. Notiamo che, siccome queste sono le uniche due tipologie di mosse, una volta sistemate quelle “verso destra” automaticamente avremo sistemato anche quelle “verso l’alto”. Preoccupiamoci allora solo di scegliere come $7$ mosse verso destra all’interno delle $14$ totali: il numero di scelte possibili è rappresentato dal coefficiente binomiale$$\binom{14}{7} = \frac{14!}{7! \ (14 - 7)!} = \frac{14!}{7! \ 7!}$$Questi sono i casi possibili. I “casi favorevoli” sono tutte le combinazioni di mosse che ci portano in $B$. Una rapida occhiata alla scacchiera ci dice che per arrivare in $B$ occorrono (e bastano) $8$ mosse, $3$ delle quali verso destra e le rimanenti $5$ verso l’alto. Con un ragionamento del tutto analogo, queste sono in numero di$$ \binom{8}{3} = \binom{8}{5} = \frac{8!}{3! \ 5!} $$Riprendendo la frazione originaria, otteniamo che la probabilità di passare da $B$ arrivando in $A$ è data dal rapporto$$ \frac{ \binom{8}{3} }{ \binom{14}{7} } = \frac{ 8! }{ 3! \ 5! } \frac{ 7! \ 7! }{ 14! } = \frac{ 7 }{ 429 } \approx 1,623 \% $$Quesito 8. Data la funzione $f(x)$ definita in $\mathbb{R}$, $f(x) = e^x (2x + x^2)$, individuare la primitiva di $f(x)$ il cui grafico passa per il punto $(1,2e)$.
Soluzione. Le richieste equivalgono alle seguenti: trovare una funzione $F$ tale che $$\begin{cases} F’(x) = f(x) \\ F(1) = 2e \end{cases}$$Procediamo quindi integrando $f$, e successivamente imponendo che la generica primitiva trovata, calcolata in $x = 1$, valga $2e$.
Per svolgere $ \int e^x (2x + x^2) dx $ è sufficiente usare l’integrazione per parti due volte, considerando sempre $e^x$ come “derivata” e il polinomio come funzione da derivare. I passaggi sono grosso modo i seguenti:##KATEX##\begin{aligned} \int e^x (2x + x^2) dx & = e^x(2x + x^2) - \int e^x(2 +2x) dx =\\ & = e^x(2x + x^2) - \left( e^x(2 +2x) - \int 2 e^x dx \right) \\ & = e^x(2x + x^2) - e^x(2 +2x) + 2 e^x + C = \\ & = x^2e^x + C\end{aligned}##KATEX##Definiamo dunque $F_C(x) = x^2e^x + C$, e imponiamo che una funzione di questo tipo soddisfi a $F_C(1) = 2e$. Si verifica facilmente che questa equazione porta a $C = e$. La primitiva di $f$ cercata quindi è $ F(x) = x^2e^x + e $.
Quesito 9. Date le rette$$ \begin{cases} x = t \\ y = 2t \\ z = t \end{cases} \qquad \begin{cases} x+y+z = 3 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $$e il punto $P (1,0,-2)$ determinare l’equazione del piano passante per $P$ e parallelo alle due rette.
Soluzione. Possiamo risolvere questo problema così: innanzitutto scopriamo due direzioni indipendenti che vivono nel piano su cui giacciono le due rette date; queste due direzioni genereranno non solo il piano contenente le due rette, ma anche tutti i piani ad esso paralleli. Imponiamo quindi che un piano di questi passi per il punto $P$ e otterremo la soluzione.
Le direzioni indipendenti sono proprio quelle delle due rette date. Per ottenerle è più semplice esprimerle in forma parametrica: la direzione è individuata dal vettore dei coefficienti del parametro. La prima retta è già in forma parametrica, mentre la seconda è in forma implicita. Per trasformarla, è sufficiente porre una delle coordinate come parametro: la seconda equazione ci suggerisce che una buona scelta è $x = s$. Da questa, dopo brevi passaggi algebrici otteniamo la forma parametrica$$ \begin{cases} x = s \\ y = 2s \\ z = -3s + 3 \end{cases}$$Le direzioni sono dunque date dai vettori$$\vec{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \quad , \quad \vec{v}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right)$$Il generico piano in cui giacciono queste direzioni è dato dalle equazioni parametriche $(x,y,z)^T = \lambda \vec{v}_1 + \mu \vec{v}_2 + (x_0,y_0,z_0)^T$, ove $(x_0,y_0,z_0)$ sono le coordinate di un punto da cui passa. Nel nostro caso quindi abbiamo il piano di equazioni parametriche$$ \begin{cases} x = \lambda + \mu + 1 \\ y = 2\lambda + 2\mu \\ z = \lambda - 3 \mu - 2 \end{cases} $$Se volessimo delle equazioni implicite, occorrerebbe risolvere le precedenti equazioni rispetto a $\lambda$ e $\mu$, il che porterebbe a due espressioni per i parametri (che non ci interessano) e ad una terza equazione che interessa solo le coordinate $x$, $y$ e $z$: dopo semplici passaggi algebrici che sfruttano alcune tecniche di risoluzione per i sistemi lineari, si arriva all’equazione$$ y - 2x = -2 $$Quesito 10. Sia $f$ la funzione così definita nell’intervallo $(1, +\infty)$:$$ f(x) = \int_{e}^{x^2} \frac{t}{ \ln t } dt $$Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di $f$ nel suo punto di ascissa $\sqrt{e}$.
Soluzione. Per rispondere correttamente bisogna evidenziare due cose: primo, l’equazione della retta tangente al grafico di una funzione derivabile in un punto di ascissa $x_0$ è data da$$ y - f(x_0) = f’(x_0) ( x - x_0) $$Secondo, $f$ è una funzione composta: possiamo infatti scrivere$$ f(x) = g(h(x)), \quad \text{ ove } \quad h(x) = x^2, g(s) = \int_e^{s} \frac{t}{ \ln t } dt$$Seguendo la regola di derivazione delle funzioni composte abbiamo $f’(x) = g’(h(x)) \cdot h’(x)$: grazie alle derivate elementari calcoliamo $h’(x) = 2x$, mentre per il teorema fondamentale del calcolo integrale $g’(s) = \frac{t}{ \ln t } \ \Rightarrow \ g’(h(x)) = \frac{x^2}{ 2 \ln (x)}$. Quindi la derivata di $f$ è data dalla formula$$ f’(x) = \frac{x^2}{ 2 \ln (x)} \cdot 2x = \frac{x^3}{\ln(x)} \quad f’(\sqrt{e}) = \frac{\sqrt{e^3}}{\frac{1}{2}} = 2 \sqrt{e^3} $$Infine, ci resta da calcolare $f(\sqrt{e})$; ma questo banalmente vale $ f(\sqrt{e}) = \int_{e}^{(\sqrt{e})^2} \frac{t}{ \ln t } dt = \int_{e}^{e} \frac{t}{ \ln t } dt = 0 $. In definitiva, la retta tangente al grafico di $f$ nel suo punto di ascissa $\sqrt{e}$ è data dall’equazione$$ y = 2\sqrt{e^3} (x - \sqrt{e}) $$