INVALSI: soluzione della prova di Matematica 2015 per la terza media

Di seguito proponiamo la soluzione della prova INVALSI di matematica per le terze classi della scuola secondaria di primo grado, costituente parte dell’esame di Stato.
Il testo delle domande verrà riportato in corsivo, e subito dopo ciascuna domanda verrà data una spiegazione di come si possa giungere alla risposta corretta.

DOMANDA 1
Paola, quando corre, consuma 60 kcal per ogni chilometro percorso.
a) Completa la seguente tabella che indica le kcal consumate da Paola al variare dei chilometri percorsi.

La tabella a doppia entrata deve essere completata inserendo, sopra i puntini, le kcal consumate dopo 3 e dopo 5 chilometri di corsa.
Dato che per ciascun chilometro in cui corre Paola consuma $60$ kcal, dopo tre chilometri spenderà $60 + 60 + 60$ kcal, o $60 \cdot 3$, che fa $180$; analogamente, dopo 5 chilometri, Paola avrà bruciato $60 +60 +60 +60 +60 = 60 \cdot 5 = 300$ kcal. La tabella quindi deve essere completata così:

b) Se $n$ indica il numero di chilometri che Paola percorre, quale delle seguenti formule permette di calcolare quante kcal ($k$) consuma Paola correndo?

A. $ k = 60 \cdot n $
B. $ k = 60 : n $
C. $ k = n : 60 $
D. $ k = n + 60 + 60 $

Possiamo rispondere a questa domanda guardando bene come abbiamo risposto alla precedente: per ogni chilometro in cui corre Paola spende $60$ kcal; se ne percorre tre, spende $60 \cdot 3$; se ne percorre 5, spende $ 60 \cdot 5 $. Quindi, se percorre $n$ chilometri, spenderà $60 \cdot n$ kcal: la risposta corretta è la A, mentre le altre sono tutte sbagliate.

c) Quando Paola cammina, consuma 30 kcal al chilometro. Oggi Paola ha fatto un percorso di 10 km: per i primi 3 km ha corso, poi ha camminato per 5 km e poi ha corso di nuovo fino alla fine.
Il seguente grafico mostra come varia il consumo di kcal nei primi 8 km percorsi.
Completa il grafico mettendo una crocetta in corrispondenza del consumo di kcal al nono e al decimo chilometro.

Osserviamo attentamente questo piano cartesiano e prestiamo attenzione alle unità di misura poste sugli assi: $\text{km}$ per l’asse delle ascisse, $\text{kcal}$ per l’asse delle ordinate; l’asse verticale inoltre ha incrementi di $30$ in $30$.
Sappiamo dalla richiesta 1a) che Paola, quando corre, consuma $60$ kcal per ogni chilometro: sul grafico vediamo che le crocette corrispondenti al consumo energetico durante la corsa sono poste a due riquadri di distanza in verticale le une dalle altre. La prima crocetta è a $60$, perché per il primo chilometro Paola corre; la seconda a $120$, perchè anche per il secondo chilometro Paola corre, quindi consuma altre $60$ kcal; lo stesso vale per la terza crocetta, che si trova $60$ kcal più in alto di quella precedente.
Quando Paola cammina invece, come ci viene detto nella consegna, consuma $30$ kcal in un chilometro: sul grafico quindi, le crocette che corrispondono ad un chilometro di camminata verranno poste a $30$ unità più in alto della precedente.
Per completare il grafico è sufficiente capire se Paola stia correndo o camminando: se corre, la crocetta va due quadretti più in alto, se cammina di uno solo. La consegna afferma che Paola corre per $3 \text{ km}$, poi cammina per $5 \text{ km}$, e infine torna a correre: i $5 \text{ km}$ di camminata partono dal chilometro $3$ e durano sino al chilometro $3 + 5 = 8$. Dal chilometro $8$ in poi, quindi, Paola corre. Il grafico completato in maniera corretta avrà quindi le ultime due corcette poste $60$ unità più in alto delle precedenti:

DOMANDA 2
La densità della popolazione si calcola dividendo il numero degli abitanti per la superficie di un territorio (abitanti per $\text{km}^2$). Il seguente grafico rappresenta la densità della popolazione nel 2011 nei 27 paesi dell’Unione Europea (Ue).

a) In base al grafico, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F).

1. In Romania la densità della popolazione è compresa tra 50 e 100 abitanti per $\text{km}^2$
2. La densità della popolazione del Regno Unito è circa il doppio di quella di Malta
3. In due paesi la densità della popolazione è di circa 200 abitanti per $\text{km}^2$

Analizziamo ogni affermazione:
1) La barra rappresentante la Romania è più bassa del livello “100”, e, dato che vi si avvicina sensibilmente, sicuramente è più alta di “50”. L’affermazione è quindi vera.
2) Se la densità di popolazione del Regno Unito fosse doppia rispetto a quella di Malta, la barra che nell’istogramma rappresenta il Regno Unito sarebbe alta il doppio di quella di Malta: invece, è proprio la barra maltese ad essere più alta di quella del Regno Unito. L’affermazione è quindi falsa.
3) Se andiamo a confrontare l’altezza “200” sulla scala di riferimento con le varie barre dell’istogramma, ad esempio con un righello posto in orizzontale (il cui uso è consentito durante la prova), ci sono due nazioni che vi si avvicinano più delle altre: l’Italia e il Lussemburgo. La barra riferita alla Germania è troppo discosta dal valore “200”, in proporzione con le due precedenti, per essere considerata valida. L’affermazione è quindi vera.

b) Che cosa rappresenta la linea orizzontale con la scritta “Ue27”?

A. Il valore medio della densità della popolazione del Regno Unito
B. La densità della popolazione dei paesi dell’Unione Europea
C. La densità più frequente nei paesi dell’Unione Europea 
D. La differenza tra la densità della popolazione dei Paesi Bassi e quella dell’Italia

L’istogramma raffigura la densità di popolazione, come descritto nell’intestazione del grafico e nella consegna. Ci aspettiamo quindi che questa linea orizzontale sia anch’essa una densità; ma riferita a che cosa? Ce lo indica la scritta “Ue27”: come descritto nella consegna, “Ue” è l’abbreviazione di “Unione Europea”, che ha 27 paesi al suo interno. Si tratta quindi della densità di popolazione dei (27) paesi dell’Unione Europea, cioè la risposta B.

DOMANDA 3
Osserva l’edificio nella foto.

Quanto può essere alto l’edificio?

A. Meno di 10 metri
B. Tra 15 e 20 metri
C. Tra 25 e 30 metri
D. Più di 35 metri

Non essendo presente alcuna scala di riferimento nella foto, dovremo costruircela noi. Come si vede, l’edificio ha quattro piani più un piano terreno, cinque piani in tutto: se scopriamo quant’è alto un solo piano, poi possiamo moltiplicare questa grandezza per 5 e avremo una stima dell’altezza dell’edificio. Ora cerchiamo di valutare l’altezza del piano terra: come vedere, ci sono delle auto là accanto; direi che se immaginiamo di impiliare le due auto una sopra l’altra abbiamo raggiunto il soffitto del piano terra. E quant’è alta un’auto? Circa un metro e mezzo: possiamo rendercene conto stando in piedi accanto ad un’auto, un’esperienza che sicuramente ci è capitata tante volte. Facciamo un po’ di conti quindi:$$ 1 \text{ auto } = 1,5 \text{ m }\Rightarrow 1 \text{ piano } = 2 \text{ auto } = 2 \cdot (1,5 \text{ m}) = 3 \text{ m } \Rightarrow 5 \text{ piani }= 5 \cdot (3 \text{ m}) = 15 \text{ m}$$A questo calcolo, che comunque è approssimativo, dovremmo aggiungere l’altezza dei solai e del balcone sul tetto: possiamo dire che, anche nella peggiore delle ipotesi, tutti questi errori non porterebbero l’altezza presunta dell’edificio oltre i $20 \text{ m}$. La risposta corretta è quindi la B.

DOMANDA 4

Sulla seguente retta dei numeri sono ordinate due potenze di un numero razionale $n$.

Indica con una crocetta se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa.

1. Il valore di $n$ può essere $+\frac{1}{2}$
2. Il valore di $n$ può essere $-\frac{1}{2}$
3. Il valore di $n$ può essere $+\frac{3}{2}$
4. Il valore di $n$ può essere $-\frac{3}{2}$

Guardando la retta dei numeri occorre subito notare una cosa: siccome $n^3$ viene prima di $n^2$ (infatti l’ordinamento, indicato dalla freccia, va da sinistra a destra), avremo sicuramente$$ n^3 < n^2 $$Guardiamo quindi per ciascun valore proposto se è vera questa disequazione.
1) $+\frac{1}{2}$ è un numero razionale compreso tra $0$ e $1$: il suo cubo sarà sicuramente inferiore al suo quadrato. Se $x$ è un qualsiasi numero razionale compreso tra $0$ e $1$, le sue potenze sono numeri ordinati in questo modo: $ 1 > x > x^2 > x^3 > \dots > 0 $. Quindi questa risposta è vera.
2) $-\frac{1}{2}$ è un numero negativo; per la regola dei segni, il suo quadrato sarà un numero positivo, mentre il suo cubo sarà un numero negativo. Di conseguenza, avremo $n^3 < 0 < n^2$, e la risposta è vera.
3) $+\frac{3}{2}$ è un numero maggiore di $1$: il suo cubo è sicuramente maggiore del suo quadrato. Le potenze di un numero maggiore di $1$, infatti, crescono da $1$ e vanno all’infinito: $ 1 < x < x^2 < x^3 < \dots$. Per $n = + \frac{3}{2}$ non possiamo avere un ordinamento del genere di quello presentato in figura: l'affermazione è falsa.
4) $-\frac{3}{2}$ è un numero negativo: per quanto detto al punto 2, avremo sicuramente una situazione come quella raffigurata dall’illustrazione. Non importa che il modulo di un numero sia maggiore di uno o meno: tutti i numeri negativi vengono prima di tutti i numeri positivi. L’affermazione è vera.

DOMANDA 5
Osserva la figura.

a) Disegna la retta $s$ perpendicolare a $t$ passante per $F$

Per disegnare la retta $s$ correttamente è necessario usare una squadra, il cui utilizzo è consentito durante la prova; ogni squadra infatti è dotata di un angolo retto, e due rette sono perpendicolari solo se formano tra loro un angolo retto. Appoggiamo allora un lato della squadra che forma l’angolo retto sulla retta $t$, e facciamo scorrere la squadra sinché il vertice del suo angolo retto non coincide con il punto $F$: a questo punto, l’altro lato dell’angolo retto della squadra indica la direzione della retta $s$. Tracciamone un breve segmento, per vedere se non abbiamo sbagliato: se il segmento è corretto, prolunghiamolo sino ad ottenere una figura simile a questa:

b) Il punto $R$ di intersezione tra la retta $s$ e il segmento $AB$ ha coordinate (...; ...)

Occorre indicare, sui puntini, l’ascissa e l’ordinata del punto considerato. Ricordiamo che, nel piano cartesiano, le coordinate si indicano nel seguente ordine: prima l’ascissa, che è la coordinata orizzontale, e poi l’ordianta, cioè quella verticale. Dalla figura deduciamo che la retta $s$ incrocia il segmento $AB$ nel punto $R$ evidenziato in rosso nella figura seguente, di ascissa $4$ (in verde) ed ordinata $4$ (in giallo):

La risposta corretta è quindi $(4 ; 4)$.

DOMANDA 6
Per far funzionare i computer portatili si usano batterie ricaricabili. Col passare del tempo ogni batteria degrada, cioè la sua capacità di fornire energia diminuisce. Il seguente grafico mostra come varia in percentuale nel tempo la capacità di una batteria di fornire energia a diverse temperature.

Facendo riferimento al grafico, indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa.

a. Una batteria degrada meno velocemente se mantenuta a temperature più basse
b. Dopo 12 mesi, qualunque sia la temperatura, la capacità rimasta di una batteria è meno dell’$80\%$
c. Alla temperatura di $40^\circ \text{ C}$, la capacità di una batteria diminuisce circa del $20\%$ nei primi 2 mesi
d. Alla temperatura di $25^\circ \text{ C}$, la capacità di una batteria diminuisce dall’$80\%$ al $60\%$ in circa 3 mesi

Nel grafico, come detto nella consegna, ciascuna curva rappresenta la capacità della batteria (percentuale, indicata sull’asse delle ordinate) in funzione del tempo (mesi, indicati sull’asse delle ascisse), per diverse temperature (indicate tra parentesi accanto a ciascuna curva). Analizziamo ciascuna affermazione.

a) Osserviamo con attenzione le varie curve. Vediamo che per passare dal $100 \%$ all’$80 \%$ della batteria un computer alla temperatura di $40^\circ \text{ C}$ ci mette due mesi, a $30^\circ \text{ C}$ quasi quattro mesi, a $25^\circ \text{ C}$ sei mesi ed infine a $5^\circ \text{ C}$ circa diciotto mesi. Questo andamento si mantiene per qualsiasi livello di usura della batteria: si deduce quindi che più la temperatura scende, maggiore è il tempo che impiega la batteria a degradarsi: possiamo dire che si degrada più lentamente, o anche meno velocemente. La frase dunque è vera.
b) Se così fosse, tutte le curve, dopo la soglia dei 12 mesi, dovrebbero essere sotto il livello dell’$80\%$, non a caso marcato in grassetto nell’illustrazione. Invece, la curva dei $5^\circ \text{C}$ è marcatamente sopra questo livello: l’affermazione è falsa.
c) Dopo i primi 2 mesi, la curva riferita alla temperatura di $40^\circ \text{ C}$ passa dal $100 \%$ all’$80 \%$: si ha quindi una diminuzione del $20\%$, poiché $100 - 80 = 20$. Dunque la risposta corretta è "vero".
d) Concentriamoci sulla curva che rappresenta i $25^\circ \text{ C}$. Osserviamo che le linee orizzontali che indicano i livelli dell’$80\%$ e del $60\%$ sono entrambe evidenziate: è facile quindi accorgersi che la curva in questione attraversa il primo livello dopo circa 6 mesi, e il secondo livello dopo circa 12 mesi. Il tempo che passa tra i due eventi è quindi di circa $12- 6 = 6$ mesi, e di conseguenza l’affermazione è vera.

DOMANDA 7
$a$ è un numero dispari maggiore di $3$. Quale delle seguenti espressioni rappresenta il numero dispari successivo ad $a$?

A. $ a +1 $
B. $ 2a + 1 $
C. $ 2a - 1 $
D. $ a + 2 $ 

Iniziamo con lo scartare subito la A, dato che se $a$ è dispari $a+1$ è pari e non può essere dispari. I numeri indicati a B e C sono entrambi dispari: $2a$ è pari (qualunque sia $a$), di conseguenza $2a \pm 1$ è dispari. Ma sono entrambi molto più lontani da $a$ del suo successivo numero dispari. Per fare un esempio e accorgerci che non funziona, prendiamo $a = 5$: $2a -1 = 2 \cdot 5 -1 = 9 $ e $2a +1 = 11$, che sono entrambi più grandi di $7$, il numero dispari successivo a $5$. La risposta corretta è la D.

DOMANDA 8
I lati dei due quadrati rappresentati in figura sono uno la metà dell’altro.
Il punto F è punto medio sia del segmento LM sia del segmento PQ. Il segmento FG misura 6 cm.

a) Quanto misura $EF$?

A. $9 \text{ cm}$ 
B. $ \sqrt{27} \text{ cm}$
C. $ 12 \text{ cm}$
D. $ 3 \text{ cm}$

Basta accorgersi che $FE$ è il corrispettivo di $FG$ nel quadrato grande. Infatti, è il segmento che collega un vertice con il punto medio di uno dei lati non adiacenti ad esso; possiamo anche usare il criterio di similitudine dei triangoli ai due triangoli rettangoli $FLE$ e $FQG$ per scoprire che essi sono effettivamente triangoli simili. Dato che il quadrato grande è il doppio del quadrato piccolo, come ci viene detto in consegna, $FE$ misurerà il doppio di $FG$, cioè $2 \cdot 6 = 12 \text{ cm}$.

b) Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa.

1. I triangoli $FQG$ e $FLE$ hanno gli angoli uguali
2. $FQ$ è la metà di $FG$
3. Il perimetro del triangolo $FLE$ è il doppio del perimetro del triangolo $FQG$

Analizziamo separatamente ciascuna delle affermazioni.

1) Come già indicato nella risposta alla parte a) della domanda, i due triangoli sono simili. Quindi hanno gli stessi angoli, o meglio, angoli congruenti: l’affermazione è vera.
2) Siccome $F$ è il punto medio di $PQ$, che è congruente a $QG$, avremo che $FQ$ è la metà di $QG$, che è visibilmente più corto di $FG$: ne concludiamo che $FQ$ non può essere metà anche di $FG$, e la risposta è falsa.
3) Quest’affermazione è vera: come viene detto in consegna, il quadrato grande è il doppio di quello piccolo, quindi la misura di ciascun lato del triangolo in piccolo viene raddoppiata e, di conseguenza, raddoppia anche il suo perimetro.

DOMANDA 9

Qual è il risultato dell’operazione $2 + \frac{3}{100}$?

A. $\frac{5}{100} $
B. $ \frac{3}{50} $
C. $ 2,3 $
D. $ 2,03 $

La risposta A è stata ottenuta sommando $2 + 3$ e poi dividendo per $100$, mentre la B “semplificando” $2$ e $100$ tra loro: sono entrambe errate. Ricordiamo che $\frac{3}{100}$ può essere scritto come numero decimale partendo da $3$ e spostando la virgola di due posizioni verso sinistra, dal momento che il denominatore della frazione è $100$, con due zeri: abbiamo dunque $\frac{3}{100} = 0,03$. Il risultato dell’operazione richiesta è quindi $2 + 0,03 = 2,03$, che ci dice che la risposta corretta è la C, mentre la D è sbagliata, in quanto a $2$ sono stati sommati tre decimi, non tre centesimi.

DOMANDA 10
Il giorno 7 novembre il livello dell’acqua di un fiume è aumentato di circa 10 cm all’ora per tutte le 24 ore.
Il giorno successivo, il livello dell’acqua è diminuito di circa 5 cm all’ora per tutte le 24 ore.
Quale tra i seguenti grafici può rappresentare la situazione descritta?

A. 
B. 
C. 
D. 

Come recita la consegna, il livello è aumentato durante il 7 Novembre per 24 ore, e diminutio per tutte le successive 24 ore: questo ci permette di scartare a priori il grafico C, in cui il livello fiume cresce per più di 24 ore. Inoltre, siccome il livello di crescita è di $10 \text{ cm}$ all’ora e quello di decrescita di soli $5 \text{ cm}$ all’ora, complessivamente nell’arco di 48 ore il livello del fiume diminuirà meno di quanto sia salito. Quest’osservazione ci fa dedurre che i grafici B e D sono errati: in B il livello scende più di quanto salga, in D il fiume ritorna al livello di partenza. La risposta corretta è quindi la A.

DOMANDA 11
Osserva la seguente figura formata da un quadrato al cui interno è disegnato un poligono di colore grigio.

a) Qual è l’area del poligono grigio?
Risposta: ... ... ... ... $\text{cm}^2$

Il modo più rapido per calcolare l’area è notare innanzitutto le simmetrie della figura in grigio. Essa ha due assi di simmetria, uno verticale ed uno orizzontale: possiamo quindi calcolare l’area di un solo “spicchio” e poi moltiplicarla per $4$ per ottenere l’area totale. Concentriamoci quindi su uno spicchio: possiamo ulteriormente suddividere questa figura in quattro “settori”; uno di essi è completamente occupato, uno completamente libero, e due di questi occupati per metà: equivalentemente, sono occupati due settori su quattro.

Ciascun settore è un quadrato con lato di $2 \text{ cm}$ (in figura è presente l'unità di misura), e quindi ha un’area di $2 \cdot 2 = 4 \text{ cm}^2$. Lo “spicchio” del poligono in grigio, occupando due settori, ha un’estensione di $2 \cdot 4 = 8 \text{ cm}^2$. Di conseguenza il poligono occupa complessivamente $4 \cdot 8 = 32 \text{ cm}^2$.

b) Disegna una diagonale del quadrato. La diagonale è asse di simmetria del poligono grigio?

A. Sì, perché la diagonale divide il poligono grigio in due parti uguali e simmetriche
B. Sì, perché la diagonale è asse di simmetria del quadrato
C. No, perché il poligono grigio non ha assi di simmetria
D. No, perché il simmetrico di B rispetto alla diagonale non è un vertice del poligono grigio

Come abbiamo notato al punto a), il poligono in grigio è dotato di assi di simmetria, quindi C è sbagliata a priori.
La B dice una cosa vera, cioè che la diagonale di un quadrato è suo (del quardato) asse di simmetria, ma questo non è in alcun modo collegato al fatto che sia anche asse di simmetria per il poligono in grigio: quindi l’affermazione B è sbagliata.
L’affermazione A è una tautologia, cioè dice due volte la stessa cosa: in buona sostanza dice che una cosa è simmetrica se è simmetrica. Quindi non possiamo ancora decidere se sia vera o falsa: se la diagonale è asse di simmetria, la A è vera, sennò è falsa.
L’affermazione D però risolve ogni dubbio: guardate la figura seguente, dove abbiamo evidenziato le due possibili diagonali del quadrato e i corrispettivi punti $B’$, simmetrici del punto $B$ rispetto a queste rette:

Come si può vedere, nessuno dei due punto $B’$ sta sul poligono in grigio. Ne concludiamo che nessuna delle diagonali del quadrato è un asse di simmetria per il poligono grigio: se così fosse, riflettendo il poligono su quell’asse finiremmo di nuovo nel poligono stesso, cosa che, come è evidenziato da dove finisce il punto $B$, non succede. L’affermazione D è dunque la risposta corretta; di conseguenza, la A è sbagliata.

DOMANDA 12
Nel gioco del superenalotto ogni giocatore sceglie almeno sei numeri interi compresi tra 1 e 90. Gli organizzatori estraggono a caso sei numeri, sempre compresi tra 1 e 90.

Vincono i giocatori che hanno scelto proprio gli stessi numeri estratti dagli organizzatori del gioco.

Sara ha scelto i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Guglielmo ha scelto i numeri 7, 12, 15, 23, 28, 34.

Sara e Guglielmo hanno la stessa probabilità di vincere?

A. No, perché i numeri scelti da Sara sono consecutivi
B. Sì, perché tutti i numeri hanno la stessa probabilità di essere estratti
C. No, perché Sara e Guglielmo non hanno scelto gli stessi numeri
D. Sì, perché non conosciamo i numeri usciti nelle estrazioni precedenti

Visto che i numeri vengono estratti “a caso”, stando a quanto detto nella consegna, non importa quali numeri sono stati scelti, in quale ordine, o secondo quale criterio: vogliamo dire, in pratica, che ogni numero ha la stessa probabilità di essere estratto di tutti gli altri.

La risposta A pone un’obiezione che non ha senso, cioè che l’ordine in cui sono stati scelti i numeri ha una qualche importanza, ed è quindi errata.
L’opzione D ci pone di fronte a un luogo comune, ahimé errato: le estrazioni precedenti non condizionano in alcun modo le successive, e dunque anche questa risposta è sbagliata.
La C dice una cosa corretta, cioè che Sara e Guglielmo non hanno scelto gli stessi numeri; ma il fatto che non abbiano la stessa probabilità di vincere è slegato dal fatto che scelgano o meno gli stessi numeri. Certo, se non hanno scelto gli stessi numeri è impossibili che vincano entrambi; ma questo non modifica la probabilità di ciascuno di vincere. L’affermazione è errata.
L’opzione B infine dice l’unica cosa sensata: che non ha importanza quali numeri si scelgano (sempre che se ne scelgano sei). La B è quindi l’unica affermazione corretta.

DOMANDA 13

Si versa 1 litro di acqua in ognuno dei contenitori qui rappresentati.

In quale contenitore l’acqua raggiungerà il livello più alto?

Il litro è un’unità di misura del volume, corrispondente a un decimetro cubo. Il volume di un solido, in generale, può essere calcolato mediante la formula$$ \text{Volume } = \text{ Area di base } \cdot \text{ altezza}$$Questo ci dice anche che, a parità di volume, area di base e altezza sono inversamente proporzionali: maggiore è l’area, minore sarà l’altezza. Si tratta proprio del nostro caso, dato che abbiamo una quantità fissata di volume, cioè $1$ litro. Il livello più alto sarà dunque raggiunto nel solido con area di base più piccola. Il solido A ha una base rettangolare di $20 \cdot 10 = 200 \text{ cm}^2$, B invece $15 \cdot 15 = 225 \text{ cm}^2$, C ha una base di $ 20 \cdot 20 = 400\text{ cm}^2$; infine D ha un cerchio di raggio $10 \text{ cm}$ di raggio come base: ricordandoci la formula per l’area del cerchio e approssimando $\pi \approx 3,14$, abbiamo che l’area di base del cilindro D è circa $3,14 \cdot 10^2 = 3,14 \cdot 100 = 314 \text{ cm}^2$. L’area di base più piccola sicuramente spetta al contenitore A: dunque la A è la risposta corretta.

DOMANDA 14
Luca percorre una strada in bicicletta e, con l’aiuto del computer, registra la propria velocità ogni decimo di secondo. Il grafico in figura rappresenta le diverse velocità raggiunte da Luca al passare del tempo.

Qual è la moda delle velocità raggiunte da Luca tra l’istante A e l’istante B?

Risposta: ......... km/h

La moda di un campione di valori è il valore più comune fra quelli presenti, ossia il valore che compare più volte o che rimane per più tempo: nel grafico precedente è evidente che Luca corre con una veloctà di $9 \text{ km}/\text{h}$ per circa $15$ secondi dall’istante A all’istante B, mentre tutte le altre velocità vengono mantenute per brevi istanti. La risposta corretta quindi è $9 \text{ km}/\text{h}$.

DOMANDA 15
Osserva l’immagine.

a) Secondo le informazioni riportate nell’immagine, quanto tempo ci vuole per andare in bicicletta da Piazzale Roma a Rotonda San Lorenzo passando da Piazza Unità?

Si deve fare attenzione che viene richiesto il tempo in bicicletta: i tempi di percorrenza indicati su ciascuna freccia nell’illustrazione sono quelli in bicicletta (come indicato in alto a destra). Da Piazzale Roma a Piazza Unità ci vogliono $5$ minuti, da Piazza unità a Rotonda San Lorenzo $7$ minuti: in totale quindi ci si mette $5 + 7 = 12$ minuti.

b) Secondo le informazioni riportate nell’immagine, quanto tempo ci vuole all’incirca per percorrere lo stesso tragitto a piedi?

A. 12 minuti
B. 45 minuti
C. 60 minuti
D. 30 minuti

Ora invece dobbiamo usare l’informazione in basso a sinistra: ci dicono che “a piedi si percorrono circa 4 km in un’ora”. Dobbiamo quindi capire quant’è lungo il tragitto: sommando le distanze otteniamo $1,2 + 1,8 \text{ km} = 3 \text{ km}$. Se ci mettiamo un’ora per percorrere $4 \text{ km}$, in quanto percorriamo $3 \text{ km}$? Possiamo cercare la risposta con una proporzione:$$ 4 \text{ km} : 1 \text{ ora} = 3 \text{ km} : x \text{ ore}$$Risolvendo questa proporzione otteniamo $x = \frac{3}{4} \text{ ora}$, o $45$ minuti: la risposta corretta è quindi la B.

DOMANDA 16
Talete e Pitagora sono due matematici dell’antichità. Talete nacque nel 625 a.C. e visse 85 anni.

a) Con una freccia indica sulla linea del tempo l’anno di morte di Talete.

Se ogni tacca indica $5$ anni e Talete è vissuto $85$ anni, le tacche di distanza dal 625 a.C. sono $85 : 5 = 17 $. Ora, per calcolare l’anno in cui è morto, è necessario sottrarre $85$ anni al valore dell’anno di nascita di Talete, dato che siamo prima di Cristo: infatti, se passa $1$ anno dal $625$ a.C. saremo nel $624$ a.C., non nel $626$ a.C.! Detto questo, possiamo affermare che Talete è moto nel $625 - 85 = 540$ a.C., come mostriamo nella seguente figura:

b) Quando nacque Pitagora, Talete aveva 50 anni. In che anno è nato Pitagora?

Per rispondere a questa domanda e scoprire quand'è nato Pitagora, basta aggiungere $50$ anni all’anno di nascita di Talete... Ma attenzione! Ricordiamoci che si tratta di date “avanti Cristo”: per far passare $50$ anni quindi dobbiamo sottrarre $50$ a $625$: Pitagora è nato nel $625 - 50 = 575$ a.C.
Non occorre indicare questa data sulla retta del tempo, dato che non è richiesto.

DOMANDA 17
La figura rappresenta lo schema di una pista formata da:

• due archi di circonferenza di raggio 50 cm;
• due tratti rettilinei di 100 cm ciascuno, perpendicolari tra loro nel punto medio.

Qual è la lunghezza della pista?

Scrivi i calcoli che fai per trovare la risposta e infine riporta il risultato.

Otterremo la lunghezza della pista sommando tra loro le lunghezze dei vari tratti: avremo i due tratti rettilinei e i due archi di circonferenza.
La parte facile sono i due tratti rettilinei nel mezzo: come ci viene indicato nella consegna, ciascuno è lungo $100 \text{ cm}$, quindi abbiamo $ 100 + 100 = 200 \text{ cm}$ per i tratti rettilinei.
Per quanto riguarda gli archi, invece, l’osservazione principale sta nel fatto che ciascuno dei due archi è solo i $3/4$ di una circonferenza: questo si deduce dal fatto che l’angolo evidenziato in figura è retto. Come sappiamo, un angolo giro misura 360 gradi, o quattro angoli retti: se ne togliamo uno, abbiamo solo i tre quarti di una circonferenza! Un’intera circonferenza di raggio $r$ è lunga $2 \pi r$, quindi i tre quarti sono lunghi $\frac{2 \cdot 3}{4} \pi r = \frac{3}{2} \pi r$; nel nostro caso, siccome abbiamo due archi di circonferenza, avremo $\frac{3}{2} \pi r + \frac{3}{2} \pi r = 3 \pi r$. Con i nostri dati, in cui $r = 50\text{ cm}$ e $\pi \approx 3,14$, abbiamo $ 3 \pi r \approx 3 \cdot 3,14 \cdot 50 = 9,42 \cdot 50 = 471 \text{ cm}$.
In definitiva possiamo riassumere tutti i conti in questo modo:$$ \begin{array}{l} \text{Segmenti rettilinei: } 100 + 100 = 200 \text{ cm} \\ \text{Archi di circonferenza: } \frac{3}{4} \cdot (2 \pi r) \cdot 2 = 3 \pi r \approx 3 \cdot 3,14 \cdot 50 = 471 \text{ cm} \\ \text{Lunghezza totale: } 200 + 471 = 671 \text{ cm} \end{array}$$

DOMANDA 18
Il signor Giorgi paga per il telefono 40 euro al mese. Decide di cambiare compagnia telefonica e prende in considerazione due offerte:

Offerta A: permette un risparmio del 4 % rispetto alla sua tariffa attuale.
Offerta B: permette un risparmio di 4 euro al mese rispetto alla sua tariffa attuale.

Con quale delle due offerte il signor Giorgi spenderebbe di meno? Scegli una delle due risposte e completa la frase.

Il signor Giorgi spenderebbe di meno con l’offerta A, perché...
Il signor Giorgi spenderebbe di meno con l’offerta B, perché...

Dobbiamo capire, a grandi linee, quanto risparmia il signor Giorgi con l’una e l’altra opzione. L’opzione A permette un risparmio del $4 \%$ della tariffa attuale, che è di 40 €: per calcolare questa percentuale, dobbiamo svolgere la seguente operazione:$$ 4 \% \text{ di } 40 \Rightarrow \frac{ 40 \cdot 4 }{100} = 1,6 $$È quindi evidente che il signor Giorgi risparmia molto di più con l’Offerta B, perché con questa risparmia 4 € sui 40 che spende, contro gli 1,6 € dell’opzione A.

DOMANDA 19
Per produrre 1 kg di carne da manzi di allevamento si utilizzano 10 000 litri di acqua. Quanti litri di acqua occorrono per produrre 1000 kg di carne? Scrivi il risultato come potenza del 10, inserendo l’esponente corretto.

Scriviamo i nostri dati sotto forma di potenze di $10$: i litri d’acqua utilizzati per ogni chilo di carne prodotto sono $10 \ 000 = 10^5$, e occorre produrre $1 \ 000 = 10^3$ chili. L’ammontare di litri d’acqua richiesto quindi si ottiene moltiplicando i litri necessari per ciascun chilo per il numero di chili da produrre; ricordiamoci di usare le proprietà delle potenze:$$ 1 \ 000 \cdot 10 \ 000 = 10^3 \cdot 10^5 = 10^{3 + 5} = 10^{8}$$La risposta corretta è dunque $10^8$.

DOMANDA 20

Un listello di legno di 60 cm è stato tagliato in pezzi di lunghezza $y$ e pezzi di lunghezza $3y$ per costruire la cornice mostrata in figura.

Quale delle seguenti equazioni permette di calcolare la lunghezza $y$?

A. $12y = 60$
B. $12y = 60y$
C. $5y = 60$
D. $3y^3 = 60$

La figura ci aiuta a contare quante “$y$” compaiono: ogni segmento corto misura $y$, quelli lunghi $3y$. Abbiamo tre segmenti corti a destra, tre a sinistra e due segmenti lunghi in mezzo: in definitiva$$ y+y+y \ + \ 3y + 3y \ + \ y+y+y $$Eseguendo i conti in totale otteniamo $12y$, e sapendo che la lunghezza totale è di $60$ ($ \text{cm}$), l’equazione corretta è la A.
La B aggiunge una incognita $y$ a destra, il che è scorretto poichè $60$ è una misura nota; la C prende in considerazione solo le misure mostrate in figura, non quelle di tutti i pezzi di legno, e sommando $y+y+3y$ otteniamo effetivamente $5y$; la D, invece di sommarle, le moltiplica: $y \cdot y \cdot 3y = 3y^3$.

DOMANDA 21
Nel seguente disegno è schematizzata una scala.

Per legge, la pedata deve essere lunga almeno 30 cm e la somma tra il doppio dell’alzata e la pedata deve essere compresa tra 62 e 64 cm (estremi compresi).
a) Tra le seguenti coppie di valori, quale rispetta la legge?

A. alzata = 18 cm; pedata = 28 cm
B. alzata = 15 cm; pedata = 32 cm
C. alzata = 14 cm; pedata = 31 cm
D. alzata = 16 cm; pedata = 27 cm

Nella consegna si dice che la pedata deve essere lunga almeno $30 \text{ cm}$: questo ci fa scartare immediatamente le opzioni A e D. Nelle opzioni rimanenti occorre sommare al doppio dell’alzata la pedata e vedere se questo valore sta nei limiti previsti. Per B abbiamo $ 2 \cdot \text{ alzata } + \text{ pedata } = 2 \cdot 15 + 32 = 30 + 32 = 62$, che è compreso tra $62$ e $64$; nella consegna è precisato che gli estremi sono compresi, quindi la scala B è a norma di legge. Per quanto riguarda C, invece, abbiamo $2 \cdot 14 + 31 = 28 + 31 = 59 $, che è inferiore ai termini previsti.
L’unica opzione corretta è quindi la B.

b) La pedata di una scala misura 34 cm. Per rispettare la legge, il doppio dell’alzata dovrà essere compreso tra 28 cm e ... cm, perciò l’alzata dovrà essere compresa tra 14 cm e ... cm.

Come precisato nella consegna, una scala a norma di legge deve avere la somma tra pedata e doppio dell’alzata tra i $62$ e i $64 \text{ cm}$, estremi compresi. Qui ci viene indicato il limite inferiore, quello per cui la somma cercata fa esattamente $62 \text{ cm}$: ci viene lasciato da calcolare il valore massimo, quella per cui cioè $2 \cdot \text{ alzata } + \text{ pedata } = 64\text{ cm}$. Poniamo come incognita $x$ il valore dell’alzata cercato, ed impostiamo l’equazione: $2x + 34 = 64$. Si tratta di un’equazione di primo grado, che si risolve abbastanza facilmente:##KATEX##\begin{aligned} 2 x + 34 = 64 \\ 2x = 64 - 34 \\ 2x = 30 \\ x = 15 \end{aligned}##KATEX##Come si vede dalle ultime due righe, il doppio dell’alzata ($2x$) può essere al massimo $30 \text{ cm}$, e l’alzata stessa al massimo $15 \text{ cm}$.

DOMANDA 22
Martina ha eseguito la seguente moltiplicazione.$$ 2,85 \cdot 0,92$$Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera (V) o falsa (F)

1. Il risultato è maggiore di 2,85
2. Il risultato è maggiore di 0,92
3. Il risultato è il 92% di 2,85

Analizziamo ciascuna affermazione.
La prima opzione non può essere vera: Martina ha moltiplicato $2,85$ per un numero più piccolo di $1$ ($0,92$), quindi il risultato è sicuramente inferiore al numero di partenza. La prima affermazione è falsa.
La seconda affermazione è vera per il motivo contrario al caso precedente: abbiamo moltiplicato $0,92$ per un numero maggiore di $1$ ($2,85$), e il risultato sarà più grande della quantità originale.
Per valutare la terza frase bisogna ricordarsi che un numero percentuale è effettivamente una frazione che ha $100$ al denominatore: $92 \%$ è effettivamente $\frac{92}{100}$; per effettuare la divisione $92 : 100$ basta spostare la virgola a sinistra di due posizioni. Il risultato è proprio $0,92$! Quindi, per ottenere il $92 \%$ di un numero basterà moltiplicare quel numero per $0,92$, esattamente come ha fatto Martina. L’affermazione è vera.

DOMANDA 23

Considera due numeri naturali qualsiasi s e t. Se a = 3s e b = 3t, allora a + b è sempre divisibile per 3 perché...

A. $a + b = 3s + 3t = 3 \cdot (s + t)$
B. $a + b = 3$
C. $a + b = 6 + 9 = 15$
D. $a + b = 3s + 3t = 3 \cdot s + t$

Ribadiamo il fatto che i numeri naturali $s$ e $t$ non li conosciamo: di conseguenza, non conosciamo nemmeno quanto vale $a = 3 s$ o $b = 3 t $. Questo ci fa scartare in assoluto le risposte B e C, in cui $a$ e $b$ assumono valori specifici, anche se il risultato è divisibile per $3$. L’opzione A in $a + b$ sostisuisce i valori corretti, arrivando a $3s + 3t$, e successivamente effettua un raccoglimento a fattor comune del numero $3$. Siccome abbiamo raccolto $3$, possiamo anche dividere il risultato per $3$: la risposta A è quindi vera.

L’espressione D sembra procedere per il verso giusto, come A; tuttavia all’ultimo passaggio mancano le parentesi: non è stata applicata correttamente la proprietà distributiva della moltiplicazioe rispetto alla somma, quindi questa opzione è sbagliata.
In definitiva, la risposta corretta è la A.

DOMANDA 24
Marta confeziona il regalo per un’amica utilizzando una scatola a forma di cubo. Per abbellire la scatola Marta applica su tutte le facce degli adesivi quadrati tutti uguali, disponendoli come in figura.

Quanti adesivi in totale applica Marta sulla scatola?

A. 9
B. 18
C. 15
D. 30

Un cubo, la forma della scatola, ha sei facce: se scopriamo quanti adesivi stanno su una singola faccia, moltiplicando il risultato per $6$ otterremo il numero totale di adesivi utilizzati. Su ciascuna faccia è presente un adesivo in centro, e un adesivo su ognuno dei quattro lati, a cavallo di due facce; questi adesivi compaiono però solo per metà su una singola faccia: possiamo contarli come $\frac{1}{2}$ adesivo. Avremo quindi che su ciascuna faccia sono presenti$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 1 + 1 = 3 \text{ adesivi}$$In totale, sulla scatola saranno presenti $6 \cdot 3 = 18 $ adesivi: la risposta corretta è la B.

DOMANDA 25
Osserva la seguente tabella.

a) Completa la tabella inserendo al posto dei puntini la cifra delle unità di $2^7$ e la cifra delle unità di $2^8$

Non è necessario calcolare $2^7$ o $2^8$ per scoprire la loro cifra delle unità. Aumentare di $1$ $n$, cioè l’esponente del $2$, significa, effettivamente, moltiplicare per $2$ il numero precedente: per ottenere le unità dovremo solo fare una semplice moltiplicazione per due, e guardare le unità del risultato. L’unità di $2^7$ si ottiene da $4 \cdot 2 = 8$, di conseguenza le unità di $2^8$ sono $8 \cdot 2 = 16 \ \Rightarrow \ 6 $.

b) Immagina di continuare la tabella fino a $n = 20$. Qual è la cifra delle unità di $2^{20}$?

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

Osserviamo con attenzione l’ultima riga, una volta completata la tabella, e notatiamo come c’è una certa regolarità: il gruppo di numeri $2 \ 4 \ 8 \ 6$ si ripete, sempre uguale. Dato che l’operazione che effettuiamo per ottenerli è sempre la stessa, non c’è motivo che questa configurazione cambi. Il “blocco” è costituito da quattro numeri, quindi ogni $4$ potenze del $2$ la cifra delle unità sarà sempre la stessa. Per vedere dove siamo dopo venti posizioni, notiamo che la quarta posizione nel gruppo è occupata dalla cifra $6$: siccome $20 = 4 + 4 \cdot 4$, avremo che la cifra delle unità di $2^{20}$ è proprio $6$. La risposta corretta è dunque la C.

DOMANDA 26
Gabriele ha comperato un nuovo frigorifero. Per portarlo in cucina usa un carrello, come rappresentato nella figura.

Quale espressione ti permette di calcolare la massima distanza dal suolo del punto B quando il frigorifero è trasportato sul carrello?

A. $\sqrt{180^2 + 90^2} + 7,5$
B. $\sqrt{180^2 - 90^2} + 7,5$
C. $\sqrt{180 - 90} + 7,5$
D. $\sqrt{180^2} + \sqrt{90^2} + 7,5$

La distanza massima dal suolo del punto $B$ è data dalla lunghezza della linea tratteggiata, a cui va sommata il raggio della ruota del carrello. Quest’ultima misura è facile da ricavare: in basso è segnato il diametro della ruota, poiché la freccia va da una parte all’altra della circonferenza che rappresenta la ruota; sappiamo che il diametro $d$ è il doppio del raggio $r$, e di conseguenza il raggio è la metà del diametro: otteniamo così $15 : 2 = 7,5$, che è presente in tutte le scelte possibili!
Per rispondere correttamente a questa domanda è necessario riconoscere che, nella figura, abbiamo a che fare con un triangolo rettangolo: la linea tratteggiata rappresenta la sua ipotenusa, mentre le misure che conosciamo ($90$ e $180$) sono i suoi cateti. Per calcolare la lunghezza dell’ipotenusa, visto che si tratta di un triangolo rettangolo, possiamo usare il teorema di Pitagora: esso ci dice che l’ipotenusa $c$ e i due cateti $a$ e $b$ soddisfano l’equazione$$ a^2 + b^2 = c^2 \ \Rightarrow \ c = \sqrt{a^2 + b^2}$$Considerando le misure a nostra disposizione, per cui $a = 90$ e $b = 180$, l’unica formula corretta, quindi, è la A, in cui, sotto la radice quadrata, compare la somma dei due quadrati.

DOMANDA 27
Osserva il seguente grafico, relativo alla produzione annuale di scarpe di una fabbrica.

In quale anno il numero di scarpe estive prodotte sarà uguale a quello delle scarpe invernali se la produzione continua con lo stesso andamento?

A. 2015
B. 2016
C. 2017
D. 2018

Dato che nella consegna è specificato che “la produzione continua con lo stesso andamento”, dobbiamo capire dal grafico qual è questo andamento. Innanzitutto, notiamo che gli assi del grafico rappresentano l’anno di produzione in orizzontale, e il numero di scarpe prodotte in verticale; quest’ultimo sale ad incrementi di $2000$ unità, segnate da linee orizzontali, delle “tacche”. Osserviamo con attenzione le due barre del grafico: quella relativa alle “scarpe invernali” cresce di una “tacca” all’anno; quella relativa alle “scarpe estive” cresce di tre “tacche” ogni due anni, o di una “tacca” e mezza all’anno. Al posto di “tacca”, o di quantificare le scarpe prodotte (ad esempio, "nel 2011 sono state prodotte $2000$ scarpe estive"), possiamo usare una lettera, ad esempio $y$: ogni anno, le scarpe invernali crescono di $1 \ y = y$, quelle estive di $1,5 \ y$. Possiamo quindi stabilire una relazione tra la quantità di scarpe prodotte e il tempo trascorso: la differenza tra questi due ratei di crescita è $1 y - 1,5 y = - 0,5 y$, quindi ogni anno le due quantità si avvicinano di mezza $y$. Ora il gioco è fatto: siccome nel 2014 le due quantità differiscono $1,5 y$, ed ogni anno si avvicinano di $0,5 y $, possiamo dire che ci metteranno $1,5 : 0,5 = 3$ anni a raggiungersi: se partiamo dal 2014, dopo tre anni arriviamo al 2017. Possiamo anche usare lo spazio lasciato vuoto nel grafico per completare il grafico e renderci conto se abbiamo svolto correttamente i conti.
Ad ogni modo, la risposta corretta è la C.

DOMANDA 28
Il volume del parallelepipedo rettangolo si trova con la seguente formula:$$ V = a \cdot b \cdot c$$dove $a$, $b$ e $c$ sono le misure degli spigoli.
Lo spigolo $c$ di un parallelepipedo rettangolo misura $5 \text{ cm}$ e il volume è $45 \text{ cm}^3$.
Quale delle seguenti formule esprime la relazione tra le misure degli spigoli $a$ e $b$ del parallelepipedo?

A. $ a + b = 9 $
B. $ a \cdot b = 9 $
C. $ a + 9 = b $
D. $ a \cdot 9 = b $

La consegna ci fornisce la formula $V = a \cdot b \cdot c$, e subito dopo ci indica che $c = 5 $ e che il volume $V$ misura $45$. Per scoprire la relazione tra gli spigoli rimanenti, occorre sostituire correttamente nella formula appena menzionata i valori che conosciamo: mettiamo al posto di $c$ $5$, e al posto di $V$ $45$: otteniamo$$ 45 = a \cdot b \cdot 5$$Ora possiamo dividere entrambi i membri per $5$: otterremo un’equazione equivalente:$$ \frac{45}{5} = \frac{ a \cdot b \cdot 5}{5} \ \Rightarrow \ 9 = a \cdot b$$Rileggendo l’ultima espressione da destra verso sinistra (ricordiamo infatti che le equazioni sono simmetriche, cioè valgono e possono essere lette e scritte in etrabmi i versi), otteniamo$$a \cdot b = 9$$La risposta corretta quindi è la B.